17.2. Расчет прохождения сигналов с дискретным спектром

Пусть на цепь воздействует сигнал в виде периодического не­синусоидального напряжения или тока, которые можно предста­вить рядом Фурье в виде суммы бесконечного числа гармоник. Требуется определить выходной сигнал, которым является ток в ветви или напряжение на одном из ее элементов.

Известно, что комплексные амплитуды синусоидального тока частоты ω, протекающего в ветви, и. напряжения, приложенного к ней, связаны простыми соотношениями:

где Υ(jω,) и Z(jω)—комплексные проводимость и сопротивление ветви, рассчитанные на частоте ω.

Если приложенное напряжение сложной формы можно пред­ставить в виде суммы ряда гармонических составляющих

. (17.1)

то на каждой из частот можно записать:

где Y(jω) и Z(jω_k)—комплексные проводимость и сопротивление, рассчитанные на частоте ω_k.

Это позволяет найти амплитуды и начальные фазы гармониче­ских составляющих выходного сигнала:

где z(0)—сопротивление ветви постоянному току (при ω==0);

z(ω_k) —полное сопротивление ветви на частоте ω,.;

r и х(ω_k) — активная и реактивная составляющие комплексного сопротивления.

Таким образом, ток в цепи на основании метода наложения легко определить как сумму:

Пример 17.1.

Найти ток i(t), потребляемый от источника в схеме (рис. 17.1), если e(t) = 30 + 15 sinωt + 20 sin3ωt. В; r_l = 1 ком; ωL = 1 ком; r₂ = 0.5 ком;

1/ωC = 1 ком.

Решение.

1. Комплексные сопротивления цепи и комплексные амплитуды гармоник тока:

2. Мгновенное значение потребляемого от источника тока

мa.

Комплексные сопротивления Z(jω) и проводимости Υ(jω) яв­ляются частными случаями более общего понятия — комплексной функции цепи.

Представим сигнал, действующий на входе цепи, в виде ряда Фурье в комплексной форме:

Комплексная амплитуда каждой из гармоник выходного сиг­нала определяется как произведение комплексной ампли­туды соответствующей гармоники входного сигнала на соответствующую комплексную функцию цепи _:

Где .

Отсюда на основании принципа наложения находим выраже­ние выходного сигнала

Если входной сигнал (17.5) представить рядом Фурье в веще­ственной форме:

то сигнал на выходе найдем в аналогичной форме как

Таким образом, АЧС сигнала на выходе может быть получен перемножением АЧС входного сигнала на модуль комплексной функции цейи, а его ФЧС — суммированием ФЧС входного сиг­нала со значениями аргумента комплексной функции цепи на со­ответствующих частотах. Метод расчета основан на использова­нии разложения сигналов в ряд Фурье. При расчете:

входной сигнал представляют в виде ряда Фурье;

определяют необходимую входную или передаточную комплекс­ную функцию цепи;

комплексные амплитуды гармонических составляющих выход­ного сигнала рассчитывают по формуле (17.6) как произведение комплексных амплитуд входного сигнала на комплексную функ­цию цепи.

Пример 17.2.

На вход интегрирующей цепи (см. рис. 6.6,6) поступает последователь-ность прямоугольных видеоимпульсов напряжения. Найти напряжение, появляю­щееся на ее выходе, если .

Решение.

1. Представление входного сигнала в виде ряда Фурье определяется выра­жением (15.23), а комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению—выражением (6.44).

2. Напряжение на выходе цепи находим по формуле (17.6):

На рис. 17.2, α приведены АЧС входного сигнала и зависимость модуля коэффициента передачи (AЧX) цепи от частоты, а также AЧC выходного сиг­нала, полученный их перемножением. При полученный спектр соответ­ствует последовательности видеоимпульсов треугольной формы (рис. 17.2,6).