15.2. Действующее, среднее значения и мощность периодических сигналов

Действующее, или среднее квадратическое, значение любой периодической функции, например, тока i(t) определяется соотно­шением

Раскладывая i(t) в ряд Фурье (15.5), находим

Второй интеграл при равен нулю, что объясняется свойством ортогональности подынтегральных функций. Первый же интеграл представляет сумму квадратов действующих значений постоянной и всех гармонических составляющих. Поэтому окон­чательно получим

т. е. действующее значение периодического несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадрата его постоянной составляющей и квадратов действующих значений всех его гармоник. Аналогичные выражения можно получить и для напря­жения или э.д. с.

Действующее значение не зависит от начальных фаз гармоник и определяется лишь их амплитудами. Действующее значение из­меряют, в частности, электроизмерительные приборы электромаг­нитной, электродинамической, тепловой систем.

Под средним значением периодической несинусоидальной функции (тока, напряжения) понимают среднее значение этой функции, взятой по абсолютной величине:

Этот интеграл равен среднему значению функции ƒ(t) за поло­жительный полупериод, если она имеет одинаковые положитель­ную и отрицательную полуволны.

Средние значения токов, напряжений измеряют электроизме­рительные приборы выпрямительной системы.

Как известно, активная мощность равна среднему значению мгновенной мощности. Раскладывая ток и напряжение в ряд Фурье, получаем

Таким образом, активная мощность при периодических неси­нусоидальных токах и напряжениях равна сумме активных мощ­ностей постоянной и всех синусоидальных составляющих тока и напряжения:

Реактивную мощность в цепи с периодическими несинусоидальными токами и напряжениями определяют как сумму реак­тивных мощностей отдельных гармоник:

а полную мощность — как произведение действующих значений напряжения и тока:

По при различии форм кривых напряжения и тока сумма квад­ратов активной и реактивной мощности не равна квадрату полной мощности. Дополнительная составляющая, которая учитывает это различие, называется мощностью искажения:

Все указанные составляющие полной мощности в цепи с не­синусоидальными токами и напряжениями связаны соотношением

Активная мощность, которая может быть выделена периоди­ческим сигналом, определяется действием всей совокупности его спектральных составляющих. Эффективность каждой спектраль­ной составляющей определяется распределением мощности или энергии в спектре сигнала.

Чтобы» оценить распределение энергии в спектре данного коле­бания, рассчитаем мощность, выделяемую им в сопротивлении r=l Ом. Ее величина равна квадрату действующего значения тока или напряжения:

В случае периодических несинусоидальных колебаний, учиты­вая выражения (15.5), (15.9), (15.10), получим

Это выражение носит название равенства Парсеваля. Оно вы­ражает мощность периодического сигнала как сумму мощностей его отдельных спектральных составляющих.

Если распределение амплитуд гармоник сигнала по частоте |C_n(Ω_n)| определяет его АЧС, то показывает распределение мощности или энергии в его спектре и называется энергетическим спектром. Ординаты спектральных линий энерге­тического спектра равны квадрату действующего значения соот­ветствующих гармоник.

Диапазон частот, в пределах которого распределена основная часть энергии сигнала (обычно 90%), называют эффективной ши­риной спектра,