15. Спектры периодических сигналов

15.1. Общие сведения о сигналах. Спектральный способ описания периодических сигналов

В радиотехнике, радиолокации, автоматическом управлении и других областях техники основными проблемами являются полу­чение, передача и обработка информации. Носителем информации являются сигналы. Сигнал—это физический процесс, протекаю­щий в системе. Электро- и радиосигналами называются электро­магнитные процессы, несущие информацию. Примерами таких сиг­налов могут служить импульсы различной формы. Обычно различают импульсы постоянного тока и импульсы переменного тока, являющиеся ограниченными отрезками синусоидальных колебаний с заданным законом изменения амплитуды. Первые называются видеоимпульсами, а вторые — радиоимпульсами.

При теоретическом исследовании используют, как правило, математическую модель сигнала. В зависимости от способа описания сигнала она может быть построена по-разному. Важнейшими формами представления сигнала является временное и спектральное представление. В первом случае сигнал описывается как функция времени, во втором — как сумма ортогональных составляющих.

В основе классического спектрального представления сигнала лежит его разложение по системе синусоидальных функций. Од­нако известно и используется на практике разложение и по си­стеме других ортогональных функций (функции Бесселя, Хаара, Уолша и др.).,.В общем случае сигналы могут быть представлены в виде суммы ортогональных составляющих бесчисленным коли­чеством способов. Выбор той или иной системы функций в каче­стве основной определяется удобством решения поставленной практической задачи.

Начало решению задачи разложения периодических сигналов в ряд по синусоидальным функциям было положено в XVIII в. Эйлером и Лагранжем. Эта теория приобрела законченную форму в блестящих работах Фурье по исследованию тепловых потоков (1822 г.). С тех пор многим крупным математикам удалось вне­сти серьезный вклад в развитие спектральной теории. Выдаю­щаяся роль в развитии классических спектральных представлений

применительно к задачам радиотехники и автоматики принадле­жит советским ученым Л. И. Мандельштаму, В. А. Котельникову, Г. С. Горелику, С. М. Рытову, A. A. Харкевичу, Я. 3. Цып-кину и др.

Значение ряда Фурье для математики хорошо выразил амери­канский ученый К. Ланцош словами: «Если бы нам предложили выбросить все математические открытия, кроме одного, мы едва ли бы не оставили ряд Фурье. Этот ряд оказал наиболее глубокое влияние на все развитие анализа как в его теоретическом, так и в практическом аспекте». Такая высокая оценка в полной мере применима и к той роли, которую классический спектральный ана­лиз играет в современной теоретической электро- и радиотехнике, радиолокации, автоматике и др.

Итак, возможны два классических способа представления сиг­нала: временной и спектральный. Сигнал может быть представлен этими способами в области как вещественных, так и комплексных величин.

Для спектрального представления периодических сигналов применяется разложение в ряд Фурье. Известно, что любая перио­дическая функция υ(x) с периодом 2π, удовлетворяющая в преде­лах периода условиям Дирихле, может быть представлена рядом Фурье, т. е. рядом вида

Пусть временной периодический процесс описывается функ­цией ƒ(t) с произвольным периодом . Вводя новую переменную , приходим к функции периодом ΩT=2π, разложение которой в ряд Фурье делается с помощью выражений (15.1) и (15.2).

Возвращаясь к исходной временной функции ƒ(t), учитываем,

что х = Ωt; dx = Ωdt = ; υ(x)=ƒ (t).

Тогда функция ƒ(t) принимает вид

где

Это разложение можно записать и в несколько иной форме:

где

Таким образом, периодический сигнал можно рассматривать как результат наложения постоянной составляющей и бесконечно большого числа синусоидальных (гармонических) колебаний с ча­стотами Ω₁==Ω, Ω₂=2Ω, Ω₃=3Ω,..., амплитудами С₁, С₂, С_з,…

и начальными фазами ψ₁, ψ₂, ψ₂, … (рис. 15.1).

Гармонические колебания с частотами Ω, 2Ω, ЗΩ и т. д. назы­ваются соответственно основной или первой, второй, третьей и т. д. гармониками. Постоянная составляющая равна среднему значе­нию колебания за период.

Определив физический смысл коэффициентов Ω_n, С_п и ψ_n, легко прийти к выводу о возможности полного описания сигнала последовательностью величин, носящей названия спектров: Ω₁, Ω₂, Ω₂, ...— спектр частот; , С₁, C₂, Сз…— спектр амплитуд; ψ₁, ψ₂, ψ₃,…- спектр фаз. Такое представление сигнала называется спектральным.

Большое применение на практике получили амплитудно-частот­ные и фазо-частотные спектры (АЧС и ФЧС), которыми назы­ваются совокупности спектральных линий, представляющих пер­пендикуляры к оси частот, отложенные в точках Ω_n=nΩ (n=0, 1, 2, ...) так, что их ординаты соответственно равны значениям , С₁, C₂, Сз… или ψ₁, ψ₂, ψ₃,… (рис. 15.2), При комплексной форме записи ряда Фурье

комплексные амплитуды вычисляются как

В этом случае шкала частот дополняется отрицательной полу­осью: амплитудный и фазовый спектры изображаются парами ор-

динат, соответствующих положительным и отрицательным значе­ниям частот nΩ и —nΩ (рис. 15.3). При этом АЧС становится сим­метричным относительно оси ординат, а ФЧС — относительно на­чала отсчета.

Таким образом, в зависимости от принятой формы записи ряда Фурье (тригонометрической или комплексной) получаются спектры двух видов: на положительной полуоси или на обеих полуосях частот.

Временной и спектральный способы представления сигналов равноправны и взаимозаменяемы. Они являются различными фор­мами описания реально существующих процессов. Частота и время

являются дуальными величинами, дуальными могут быть названы и соответствующие им способы описания сигналов.

Методы определения спектров реальных сигналов можно раз­делить на три группы: аналитические, графоаналитические и экс­периментальные. Аналитические методы сводятся к расчету спект­ров по формулам (15.3) — (15.8). Однако для аналитического опи­сания реальных сигналов не всегда удается подобрать достаточно точную аппроксимирующую функцию ƒ(t). В подобных случаях используют графоаналитические методы, для применения которых необходимо знать лишь дискретные значения сигнала. Решение получается тем точнее, чем больше имеется таких дискретных зна­чений. Экспериментальное определение спектров производится с помощью специальных приборов — анализаторов спектра.