13.4.1. Свободные напряжения и токи в цепи rLc

Свободные напряжения и токи в цепи, состоящей из последовательно включенных элементов r, L и С, могут возникнуть, напри­мер, при подключении конденсатора С, предварительно заряжен­ного до величины источника э. д. с. E, к цепи с последовательным соединением элементов r и L (рис. 13.15). В соответствии со вто­рым законом Кирхгофа для получившейся при этом цепи можно записать

У читывая, что , и , получим

Разделив это уравнение на LC, будем иметь

Обычно вводят обозначения:

При этом уравнение (13.40) будет иметь вид

Характеристическое уравнение, соответствующее выраже­нию (13.41),

имеет корни

, (13.42)

а решение уравнения (13.41) имеет вид

(13.43)

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями: u_с(0)=Е и i(0)=0.

Подставив первое начальное условие u_c(0)=E в выраже­ние (13.43), при i=0 получим

. (13.44)

Для того чтобы использовать второе начальное условие, за­пишем выражение для тока в цепи с учетом формулы (13.43):

Подставив сюда i(0) =0, при t=0 получим

. (13.45)

Решив систему уравнений, состоящую из выражений (13.44) и (13,45), будем иметь;-

Подставив это в формулу (13.43), получим

Ток в цепи

Так как произведение корней р₁ и р₂ характеристического уравнения равно его свободному члену, т. е. р₁р₂= 1/LC, то

При этом напряжение на индуктивности

Характер изменения свободного тока г, напряжений на емко­сти и_с и на индуктивности u_l зависит от вида корней р₁ и р₂, ко­торые определяются параметрами цепи и ногут быть:

1) вещественными и разными, если δ>ω₀ или r/2L> , откуда r>2ρ, где ;

2) комплексно-сопряженными, если δ<ω₀ или r<2ρ;

3) вещественными и равными, если δ= ω₀ или r=2ρ.

Рассмотрим эти возможные три случая.

1. r>2ρ. В этом случае, как видно из выражений (13.46) — (13.48), свободные напряжения и ток являются суммами двух экспонент (рис. 13.16). Ток не меняет знака, т.е. является аперио­дическим. Поэтому и рассматриваемую цепь в этом случае назы­вают апериодической.

2. r<2ρ. Для получения закона изменения тока в этом случае в выражении для корней характеристического уравнения (13.42) введем обозначение .

При этом получим

. (13.49)

Подставив это в формулу (13.47), будем иметь

Обозначив , получим

. (13.51)

Из полученного выражения, а также из графика, приведенного на рис. 13.17, видно, что свободный ток в цепи в рассматриваемом случае изменяется по закону.затухающих .колебаний. Поэтому и контур rLC в рассматриваемом случае называют колебательным контуром. Скорость затухания колебаний определяется экспонен­циальным множителем ,где коэффициент является коэффи­циентом затухания.

Частота колебаний свободного тока в контуре сосв, называемая также собственной частотой контура, зависит от параметров контура:

где -резонансная частота;

— затухание.

Затухание d контуров, применяемых на практике, обычно мало. Поэтому в большинстве случаев можно считать, что , т. е. частота свободных колебаний контура равна его резонансной частоте.

Отношение двух следующих друг за другом максимальных зна­чений тока одного знака (см. рис. 13.17) называют декрементом колебания:

где —период свободных колебаний. .

Величину, равную натуральному логарифму от декремента ко­лебания, называют логарифмическим декрементом колебания:

. (13.54)

Для получения закона изменения и_с в рассматриваемом слу­чае подставим формулу (13.49) в выражение (13.46). При этом: получим

Представив в виде

.

Аналогичным образом, воспользовавшись формулой (13.48), можно получить выражение закона изменения напряжения на ин­дуктивности

З. r=2ρ. Законы изменения свободных напряжений и тока в рассматриваемом случае можно найти, перейдя к пределу коле­бательного разряда емкости, когда . Воспользовавшись вы­ражением для тока (13.51) и учтя, что при , получим

Напряжение на индуктивности

Напряжение на емкости можно найти из основного уравнения цепи :

.

Подставив сюда выражения (13.57) и (13.58) и учтя, что , получим

. (13.59)

Графики , i и , в рассматриваемом случае будут иметь та­кой же вид, как и в первом случае (см. рис. 13.16). Ток не меняет знака, поэтому процесс в цепи является апериодическим. Рассмат­риваемый процесс в цепи называют критическим, так как он яв­ляется граничным между апериодическим и колебательным про­цессами. Длительность переходных процессов в этом режиме бу­дет наименьшей. Сопротивление r=2ρ называют критическим сопротивлением.