13.3. Переходные процессы в разветвленных цепях первого порядка

П ри анализе переходных процессов в разветвленных электри­ческих цепях возникает необходимость в составлении дифференци­альных, уравнений цепи не только по второму закону Кирхгофа, как это делалось в рассмотренных выше неразветвленных цепях, но и по первому закону Кирхгофа или же в использовании общих методов расчета сложных цепей, на­пример метода контурных токов или метода узловых потенциалов.

Методику анализа переходных процес­сов в разветвленных цепях рассмотрим на примере цепи, схема которой приведена на рис. 13.13, при подключении к ней источника постоянного напряжения. В соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа для рассматриваемой цепи можно записать:

Исключив из этой системы уравнений токи i₁ и i₂, получим уравнение для тока i₃

Общее решение этого уравнения имеет вид

Из схемы цепи видно, что в устано­вившемся режиме ветвь с сопротивле­нием r₂ будет замыкаться накоротко ветвью с индуктивностью L. Поэтому

и

Считая, что в цепи имеют место нулевые начальные условия, т. е. что i₃(0)=0, при t=0 получим i(0) =E/r₁+A₁ = 0, откуда a₁ = -E/r₁. При этом окончательно получим

а напряжение на индуктивности и токи i₂ и i₁ будут равны:

Графики токов в цепи показаны на рис. 13.14. Все эти токи изменяются по экспоненциальному закону, причем постоянная вре­мени для всех ветвей цепи одна и та же.

Как из рассмотренного выше примера, так и из произведенного ранее анализа переходных процессов в неразветвленных цепях первого порядка следует, что расчет переходных процессов в це­пях первого порядка можно производить без составления диффе­ренциальных уравнений цепи, записав сразу его общее решение, имеющее вид

Так как характеристическое уравнение, из которого опреде­ляется постоянная времени цепи, не зависит от наличия в цепи внешних источников энергии, то при ее определении можно счи­тать, что в цепи имеют место только свободные токи и напряже-

ния, возникающие за счет энергии, запасенной в элементах L или С. При этом постоянную времени цепи можно вычислить по формуле

или ,

где r_a — эквивалентное сопротивление цепи между точками, к ко­торым подключены элементы L или С, при условии, что внешние источники электрической энергии заменены их внутренними со­противлениями.

Пользуясь этим правилом, для рассмотренной выше разветв­ленной цепи можно записать , что соот­ветствует значению, полученному выше из дифференциального уравнения цепи.

13.4. Переходные процессы в неразветвленных цепях второго порядка

Переходные процессы в цепях второго порядка описываются линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, имеющим в общем слу­чае вид

Принужденную составляющую решения этого уравнения ищут в виде, подобном его правой части, а свободную составляющую в виде

где pi и рч — корни характеристического уравнения цепи a₂p²+a₁p+a₀=0;

A₁ и A₂ — постоянные интегрирования, определяемые началь­ными условиями в цепи.

Методику анализа переходных процессов в неразветвленных цепях второго порядка рассмотрим на примере цепи, состоящей из последовательно включенных элементов r, L и С,