12.4. Сигнальные (направленные) графы и их применение для расчета электронных схем

С игнальный (направленный) граф — это графическая форма представления системы линейных уравнений цепи. В отличие от топологического графа он отображает не геометрические свой­ства цепи, а взаимосвязь между перемен­ными— токами и напряжениями, действую­щими в ней. Сигнальный граф дает наглядную картину причинно-следственных связей между параметрами цепи и ее напряжениями и то­ками. Он позволяет легко проследить влия­ние параметров цепи на ее передаточные функции. Применение графов к анализу цепей позволяет су­щественно сократить объем вычислений по сравнению с не­посредственным разложением определителей системы урав­нений.

Сигнальный граф — это совокупность узлов и соединяющих их направленных ветвей. Каждый его узел представляет переменную, а каждая ветвь, соединяющая два узла,— функциональную зави­симость между двумя переменными. Например, уравнению x₂=а₂₁x₁ соответствует простейший граф (рис. 12.9). Он содержит одну ветвь, направленную от узла х₁ к узлу х₂. Кроме направления эта ветвь характеризуется передачей, равной отношению

. Передача ветви может быть безразмерной или иметь размерность сопротивления, проводимости. Прохождению сиг­нала по ветви графа соответствует его умножение на передачу ветви. Сигнал может проходить только в направлении, указанном на ветви стрелкой.

Сигнальный граф цепи находится в однозначном соответствии с системой ее уравнений, записанной в форме «причина — след­ствие»:

Здесь a_qk — коэффициенты уравнений, определяемые парамет­рами цепи; y_q — коэффициенты, определяемые заданными воздей­ствиями, т.е. независимые переменные; x_k — неизвестные вели­чины, т. е. зависимые переменные.

В качестве примера перепишем в этой форме систему контур­ных уравнений (10.1). Для этого в левой части каждого уравне-

ния оставим одну из переменных, а все оставшиеся члены перене­сем в правую часть:

Такие уравнения представляют выходные сигналы x_q (след­ствие) как сумму соответственно преобразованных входных сиг-

н алов у_q (причин). Выходным сигналом (реакцией) считается за­висимая переменная, подлежащая определению. Все независимые переменные y_q считаются входны­ми сигналами (воздействиями). Сигнальный граф строится в соответствии с уравнениями (12.20). Для этого каждой зави­симой x_k и каждой независи­мой у_q переменным ставится в соответствие узел графа. Узлы располагаются произвольно и со­единяются ветвями следующим образом. Если , то узлы х_q и x_k соединяются ветвью с пере­дачей a_qh и направлением от x_k к x_q. Кроме того, узлы у_q и x_q соединяются ветвью, направленной к x_q и имеющей единичную передачу. В результате получается граф вида, показанного на рис. 12.10-

Пример 12.4.

Построить сигнальный граф цепи, в которой входным сигналом является э. д. с. Е, выходным — ток I_в (рис. 12.11). Решение.

1. Составляем систему уравнений цепи методом узловых напряжений и пе­реписываем ее в форме «причина — следствие»:

2, При построении сигнального графа зависимым переменным Ù₁, Ù₂ и Ù₃ приводим в соответствие промежуточные узлы, входному сигналу J=g₁E—исток, выходному — сток I₆=g₆U₃ . Узлы соединяем ветвями в соответствии с уравне­ниями цени и принятыми обозначениями. Поэтапное построение графа показано на рис. 12.12.

Систему уравнений цепи можно составить пoразному (мето­дом контурных токов, узловых напряжений и т. д.). В зависимо­сти от этого данной цепи соответствуют несколько отличающихся друг от друга сигнальных графов.

Узлы сигнального графа разделяют на три группы: истоки, стоки и промежуточные узлы. Истоки представляют входные сиг­налы и связаны лишь с исходящими ветвями, например узлы и (рис. 12.13). Стоки представляют выходные сигналы и свя­заны лишь с входящими ветвями, например узлы и (см. рис. 12.13). Все остальные узлы с входящими и исходящими вет­вями называют промежуточными. Узловой сигнал равен сумме сигналов, приходящих к узлу (рис. 12.14,а), и передается по всем ветвям, исходящим из него (рис. 12.14,6). Обычно на графе вы­ходные сигналы для удобства выделяются в отдельные узлы че­рез ветви с единичной передачей, образуя стоки.

Важными элементами сигнального графа являются путь и контур:

путь — это непрерывная последовательность однонаправленных ветвей, проходящих через каждый узел не более одного раза;

прямой путь — это путь, связывающий исток и сток;

контур представляет любой замкнутый путь;

петля — это контур, содержащий только один узел.

Контуры или контур и путь называются несоприкасающимися, если они не имеют общих узлов.

Все контуры и пути характеризуются передачей. Передача кон­тура, так же как и передача пути,— это произведение передач вет­вей, из которых они состоят.

Передача сигнального графа — это отношение выходного сиг­нала к входному. Если сигнальный граф содержит несколько истоков и несколько стоков, то он характеризуется и несколькими передачами: от каждого из истоков к каждому из стоков. Опреде­ление передачи графа является основной задачей; решаемой при расчете цепи методом сигнальных графов.

Передачу графа можно найти двумя способами: последова­тельным упрощением его структуры и с помощью топологической формулы (формулы Мэзона). Первый способ заключается в по­следовательном исключении промежуточных узлов с помощью правил упрощения графа. При этом граф приводится к простей­шему виду. Этот способ соответствует алгебраическому методу решения системы уравнений путем последовательного исключения неизвестных. Второй способ сводится к непосредственному приме­нению топологической формулы для передачи графа. Решение графа по этой формуле соответствует решению системы алгебраи­ческих уравнений, основанному на прямом разложении ее опреде­лителя.

Правила упрощения графа несложны; в их справедливости легко убедиться. Рассмотрим некоторые из них.

1. Передача последовательно соединенных ветвей равна про­изведению передач этих ветвей (рис. 12.15,а). Действительно,

, т. е. . (12.22)

2. Передача двух параллельно соединенных однонаправленных ветвей равна сумме передач этих ветвей (рис. 12.15,6). Действи­тельно,

. (12.23)

3. Устранение простой узловой точки (рис. 12.16,а). Простой узловой точкой называется промежуточный узел графа, не связан­ный с петлей.

Так как , то

. (12.24)

4. Устранение контура на пути (рис. 12.16,6):

,

т. е.

. (12.25)

5. Исключение петли, связанной с узлом, от которого отходит и к которому подходит одна ветвь (рис. 12.17,а):

Отсюда

(12.26)

6. Исключение петли, связанной с узлом, от которого отходят и к которому подходят несколько ветвей (рис. 12.17,6):

. (12.27)

Пример, 12.5.

С помощью сигнального графа (см. рис. 12.13) рассчитать токи и . Решение.

1. Сначала устраняем контур cd на пути (рис. 12.18, а), затем петли g и cd (рис. 12.18,6), после чего исключаем узел (рис. 12.18,в).

2. С помощью образованного после упрощения графа (см. рис. 1Й.18,в) находим

т. е.

Ценность решения с помощью подобных преобразований сиг­нального графа состоит в том, что в процессе решения удается выделять основные существенные части, в частности цепи обрат­ной связи, а также выявлять влияние интересующих параметров на передачу графа. Однако правила упрощения не определяют

точный порядок и последовательность их применения. Поэтому решение задачи может пойти разными и далеко не оптимальными путями. Это снижает ценность метода.

Топологическая формула позволяет непосредственно рассчи­тать передачу G графа от данного истока к данному стоку. В со­ответствии с этой формулой, называемой также правилом несо­прикасающихся контуров,

где Pk — передача k-го прямого пути от истока к стоку;

п — число прямых путей;

Δ — определитель графа;

Δ_k — определитель части графа, остающейся после исключе­ния контуров, соприкасающихся с k-м прямым пу­тем. Определитель рассчитывается по формуле

где L_i —передача i-го контура;

L_iL_j — произведение передач комбинаций по два несоприка­сающихся контура;

L_iL_jL_k — произведение передач комбинаций по три несоприкасаю­щихся контура.

Определитель ан рассчитывается по этой же формуле (12.29), но без учета контуров, которые касаются k-ro прямого пути.

Следует подчеркнуть, что топологическая формула (12.28) определяет передачу сигнального графа лишь от q-ro истока к s-му стоку. Если граф содержит несколько истоков и стоков, то формула применяется последовательно для нахождения передач от каждого из истоков к соответствующему стоку, но каждый раз без учета других истоков. После этого в соответствии с принци­пом наложения выходные сигналы определяются как сумма сиг­налов, приходящих в каждый сток из всех имеющихся истоков. При этом используются значения передач графа, рассчитанные с помощью топологической формулы (12.28),

Пример 12.6.

Рассчитать рабочий коэффициент усиления транзисторного усилителя (рис. 12.19, а), если R_ВХ = 1 ком; R_H = 5,1 ком; R_oc=20 ком; R_э=51 0м; r_б = 500 0м; r_э=25 Ом; r_к= 10⁶ Ом; α=0.98.

Решение.

1. Система узловых уравнений для эквивалентной схемы (рис. 12.19,6) в канонической форме:

и в форме «причина — следствие» (12.20):

После подстановки числовых значений получаем:

2. Для построения сигнального графа выделяем исток , сток и про­межуточные узлы , , , . Все углы в соответствии с полученными урав­нениями соединяем направленными ветвями (рис. 12.20).

3. Перед применением топологической формулы целесообразно частично упростить сигнальный граф. Для этого устраняем простую узловую точку

(рис. 12.2l,a) и объединяем параллельно включенные ветви и петли (рис. 12.21,6).

4. Проанализируем полученный сигнальный граф цепи (см. рис. 12.21,6):

граф содержит два прямых пути P₁ и P₂ (рис. 12.22, α) и восемь петель l₁—L₈ (рис. 12.22,6); их передачи находим как произведение передач ветвей, из которых они состоят;

в составе контуров имеется шесть комбинаций по два несоприкасающихся контура (L₁L₂, L₁L₃, L₂L₃, L₄L₃,L₅L₁, L₇L₂) и одна комбинация по три несо­прикасающихся контура (L₁L₂L₃);

с первым прямым путем P₁ не соприкасается лишь контур L₃. Контуры, не соприкасающиеся со вторым прямым путем p₂, отсутствуют.

5. Находим определитель графа и его частей:

6. Рассчитываем передачу графа, численно равную рабочему коэффициенту усиления усилителя:

13. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

13.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССАХ

В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

И КЛАССИЧЕСКОМ МЕТОДЕ ИХ АНАЛИЗА

Р азличают два режима работы цепи: установившийся (ста­ционарный) и неустановившийся (переходный, нестационарный). Установившимся называют такой режим, при котором токи, нанапряжения и э. д. с. в цепи являются или постоян­ными, или периодическими функциями времени. В предыдущих разделах рассматривался только этот режим.

Неустановившимся режимом или переходным процессом в электрической цепи называют элек­тромагнитный процесс, возникающий в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Этот процесс возникает в электрических цепях при подключении к ним или отключении от них источников электрической энергии, а также при скачкообразном изменении схемы цепи или параметров входящих в нее элементов.

Указанные выше операции в цепях называют коммутацией. На схемах цепей коммутацию обычно обозначают в виде ключа со стрелкой (рис. 13.1,а — замыкание, рис. 13.1,6 — размыкание). Считают, что коммутация происходит в течение бесконечно ма­лого промежутка времени, т. е. мгновенно. Момент коммутации обычно принимают за начало отсчета времени, т. е. считают, что в момент коммутации t=0. При этом момент времени, предше­ствующий непосредственно моменту коммутации, обозначают t=0-, а момент времени, следующий непосредственно за момен­том коммутации, обозначают t=0+.

В цепях, не содержащих энергоемких элементов (индуктивностей и емкостей), новый установившийся режим, т. е. режим, при котором токи и напряжения являются либо постоянными, либо периодическими функциями времени, наступает непосредственно

за моментом коммутации. Поэтому можно считать, что в таких цепях переходные процессы отсутствуют.

В цепях с энергоемкими элементами переходные процессы продолжаются некоторое время, так как энергии электрических полей конденсаторов и магнитных полей индуктив­ных катушек вследствие закона непрерывности энер­гии во времени не могут изменяться скачком.

При анализе переходных процессов в электрических цепях классическим методом составляется система уравнений для мгно­венных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются .непосредственно по законам Кирхгофа или с помощью других ме­тодов расчета цепей, например метода контурных токов или метода узловых потенциалов. При этом используются соотноше­ния между токами и напряжениями в элементах цепи:

В полученной таким образом системе уравнений выбирается основная переменная и исключением других переменных из си­стемы уравнений получают одно уравнение, содержащее только основную переменную. В общем случае для линейных электриче­ских цепей с сосредоточенными параметрами, содержащих эле­менты r, L и С, это уравнение является интегро-дифференциальным. Путем повторного дифференцирования этого уравнения можно получить линейное неоднородное дифференциальное урав­нение с постоянными коэффициентами, имеющее в общем слу­чае вид

где a_k и b_k — постоянные коэффициенты, зависящие от схемы цепи и параметров ее элементов;

x(t)—выходная величина (ток или напряжение);

ƒ(t)—внешнее воздействие на цепь (источник э.д. с. или

тока).

Порядок высшей производной дифференциального уравнения определяет порядок цепи. Так, например, если этот порядок бу­дет первым, то и цепь называют цепью первого порядка и τ, д. Решение уравнения (13.2) ищется в виде

. (-3.3)

где — свободная составляющая — общее решение однород­ного дифференциального уравнения

т. е. уравнения (13.2) без правой части;

—принужденная составляющая — частное решение уравнения (13.2) с правой частью.

Свободная составляющая — это свободные электриче­ские токи или напряжения. Они характеризуют процесс рассеива­ния или накапливания энергии энергоемкими элементами L и С и равны разности переходных и установившихся токов или напря­жений.

Принужденная составляющая характеризует процесс, возникающий в цепи под воздействием внешнего возмущения после окончания переходных процессов. Это установившиеся, т. е. постоянные или периодические, токи и напряжения, которые уста­навливаются в электрической цепи после окончания переходных процессов при воздействии на цепь постоянных или периодических э. д. с. или токов.

Решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

где р_k — корни характеристического уравнения

A_k — постоянные интегрирования.

Корни характеристических уравнений p_k у пассивных электри­ческих цепей всегда либо вещественные отрицательные, либо комплексные с отрицательной вещественной частью. Физически это объясняется тем, что свободный процесс происходит за счет энергии, накопленной в элементах L или С. С течением времени эта энергия расходуется на необратимые потери (выделяется в виде тепла в активных сопротивлениях), а величина

Постоянные интегрирования A_k определяют из начальных условий — значений токов и напряжений в цепи в момент времени t=0+. т. е. в момент времени, следующий непосредственно за мо­ментом коммутации.

Для определения начальных условий используют два закона коммутации:

4 и , (13.7)

т. е. ток в индуктивности непосредственно после коммутации равен току в этой же индуктивности непосредственно пе­ред коммутацией , а напряжение на емкости непосред-

ственно после коммутации равно напряжению на этой же емкости непосредственно перед коммутацией .

Невозможность скачков токов в индуктивностях L и напряже­ний на емкостях С при коммутации следует из закона непрерыв­ности энергии, который утверждает, что энергия во времени не может изменяться скачком.

Начальные условия в электрических цепях могут быть нуле­выми или ненулевыми. Нулевые начальные условия будут в том случае, если в момент коммутации и . При этом в момент времени, следующий непосредственно за моментом ком­мутации, ток в индуктивности L и напряжение на емкости С будут продолжать оставаться равными нулю, т. е. в момент коммутации индуктивность L равносильна разрыву цепи, а емкость С эквива­лентна короткому замыканию.

Если в момент коммутации по индуктивности L протекал ток , а на емкости С было напряжение , то в цепи имеют ме­сто ненулевые начальные условия.

Следует отметить, что напряжение на индуктивности L и ток через емкость С в момент коммутации могут изменяться скачком, так как они не характеризуют энергию, запасенную в элемен­тах L и С.

В последующих подразделах рассмотрим примеры анализа пе­реходных процессов в электрических цепях, имеющие как само­стоятельное значение, так и иллюстрирующие сущность классиче­ского метода.