Тема 2.2 Дифференциальное исчисление
1)Написание рефератов, докладов
-Физический смысл второй производной
2)Исследовательская работа. Решение задач
Вычисление производных сложных функций
Найти производные следующих функций:
2.2.1.
⨍(x
)=
;
2.2.2.
⨍(x
)=
;
2.2.3.
⨍(x
)=
;
2.2.4.
⨍(x
)= tg(
;
2.2.5.
⨍(x
)=
;
2.2.6.
⨍(x
)=
;
2.2.7.
⨍(x
)=
;
2.2.8.
⨍(x
)=
;
2.2.9.
⨍(x
)=
;
2.2.10.
⨍(x
)=
;
2.2.11.
⨍(x
)=
;
2.2.12.
⨍(x
)=
+
;
2.2.13.
f(x)=
;2.2.14.
f(x)=
; 2.215.
f(x)=
;
2.2.16.
f(x)=sin(
)
;
2.2.17.
f(x)=arccos(1
2x);
2.2.18.
f(x)=arcsin(
);
2.2.19.
f(x)=arctgln(5x+3);
2.2.20.
f(x)=
;
2.2.21.f(x)=tgsincosx;
2.2.22.
f(x)=
sinx;
2.2.23. f(x)=
;
2.2.24.
f(x)=ln(x+1+
);
2.2.25.
f(x)=
+ln(tg
);
2.2.26.
f(x)=
;
2.2.27.
f(x)=ln(sin
x+
);
2.2.28.
f(x)=arcsin
; 2.2.29.
f(x)=
; 2.2.30.
f(x)=
;
2.2.31.
y=tg(
2.2.32.y=
;
2.2.33.
y=
; 2.2.34.
y=arcos(
);
2.2.35.y=
;
2.2.36.y=
;
2.2.37.y=(2/x+3)
2.2.38.
y=
;
2.2.39.
y=
arcctg(1+2
);
2.2.40.y=
+
ln
;
2.2.41.
y=ln(ln
x); 2.2.42.
y=ctg
x
; 2.2.43.y=
(3-x);
2.2.44.
y=arcsin(arcos
x); 2.2.45.
y=
;
2.2.46.
y=x
tg
x.
Найдем
отдельно случай, когда нужно найти
производную функции вида y=u(x
.
Воспользуемся логарифмическим тождеством
a=
.
Так как ln(u(x
=v(x)
ln
(u(x)),
то y=u(x
=
и
y′=(u(x
)′=(
)′=
(u(x)ln(u(x))′=u(x
(v(x)ln(u(x)).
Таким образом,y′=(u(x ) ′=u(x (u(x)ln(u(x))′.
Пример
1. Найти
производную функции y=(sinx
.
▲
y′=(sin
(
ln(sinx))′=(sin
x
(2x
ln sin x+
.
▲
? Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение производной функции y=f(x) в точке .
2. Каков геометрический смысл производной функции y=f(x) в точке ?
3.
Дайте определение касательной к графику
функции y=f(x)
в точке
;
f(
))
и напишите уравнение касательной.
4. Каков физический смысл производной функции y=f(x) в точке ?
5. Может ли функция, имеющая производную в точке, быть непрерывной в этой точке?
6. Дайте определение дифференциала функции в точке .
7. Каков геометрический смысл дифференциала?
8. Сформулируйте теорему о производной сложной функции.
Тема 2.3 Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
Разработка алгоритма построения графиков функций
Проведите полное исследование следующих функций и постройте их графики:
Пример
1. Построить
график функции
.
Решение. 1) Область определения функции - вся числовая прямая.
2)
График функции пересекает ось
в
точках, которых (x
=0,
т.е.
в точке с абсциссой x=1,а
ось
-
в
точке с ординатой y=1.
3) Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то вертикальных асимптот нет. Далее, из существования предела
k=
=
=
=
=
=0
следует, что b= [f(x) kx]= [f(x) 0 x]= =
=
=
=1,
т.е. наклонных асимптот нет, а прямая y=1 - горизонтальная асимптота.
4) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную:
f
′(x)=
=
.
Решая
уравнение
,
получаем две точки возможного экстремума:
1.
5) Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:
f
′′(x)=
=
.
Решая
уравнение 4x(3
)=0
, получаем три критические точки:
=
,
=0,
=
.
y
--1-------------------- 1++++++++++++++++++++++
Знак f′(x)++++++++
Знак f′(x)++++++++
x
- -------- ++++++++++++++ -------------------------
рис. 2.1
6)
Строим
вспомогательный рисунок (рис. 2.1) и
исследуем знак первой и второй производных.
Получаем, что на (
функция возрастает на (
)
убывает,
а на (1,
+
)
- снова
возрастает. Точки экстремума: при
переходе через точку x=
производная
f
′(x
изменяется
знак с плюса на минус, а через точку x=
-
с
минуса на плюс, следовательно, в точке
x=
-
максимум,
а
чке
x=
- минимум,
причем f(
,
f(1)=0.
На
(
график направлен выпуклостью вниз, на
(
- вверх,
на (0,
- вниз,
а на
(
- снова
вверх, следовательно, точки x=
x=0,
x=
- абсциссы
точек перегиба, причем f(
)=1+
;
f(0)=1,
f(
=1
.
7) По полученным данным строим график функции (рис.2.2).
2
1-
y
1+
x
0
- -1
1
рис. 2.2
Упражнения. Построить графики следующих функций:
1)
f(x)=
.
2)
f(x)=
.
3)
f(x)=
.
Пример
2. Построить
график функции f(x)=
.
Решение. 1) Функция определена при x > 0, т.е. в интервале 0< x <+ .
2) График функции пересекает ось в точке, которой ln x=0, т.е. в точке с абсциссой x=1, а с осью пересечения не имеет, так как функция определенна при x >0.
3)
Вертикальной
асимптотой является прямая x=0,
так как
=
=
(докажите это самостоятельно). Отыскиваем
асимптоты:
k=
=
.
Имеем
неопределенность вида
.
Применяя правило Лопиталя, получаем
k=
=
=
=0,
b=
[f(x)
kx]=
=
=
=
=0
(здесь так же было использовано правило Лопиталя).
Таким образом, k=b=0, т.е. наклонных асимптот нет; прямая y=0 горизонтальная асимптота.
4)
Для нахождения точек возможного
экстремума вычислим первую производную:
f
′(x)=
.
Решая
уравнение 1
ln
x=0,
получаем одну точку возможного экстремума:
x=e.
5)
Для
нахождения критических точек вычислим
вторую производную: f
′′(x)=
.
Решая
уравнение
=0,
ln
x=
,
x=
,
получаем одну критическую точку x=
.
y
+ + + +e------------------------------------
Знак f′(x)
Знак f′′(x)
-------------------
+++++++++++++
0
x
рис. 2.3
6)
На
вспомогательном рисунке (рис.2.3) исследуем
знак первой и второй производных.
Получаем, что на (0,е)
производная
f′(1)=
=
=1>0,
следовательно,
функция возрастает; на (е,
+
)
производная f′(
)=
=
=
=
<0
функция
убывает. Точки экстремума: при переходе
через точку x=e
производная f
′(x)
меняется
знак с плюса на минус, следовательно, в
точке x=e
максимум,
причем f(e)=
.
На (0,
)
вторая производная f
′′(е)=
=
<0
-
график
направлен выпуклостью вверх, а на (
)
производная
f′′(
)=
=
>0
-
график
направлен выпуклостью вниз, следовательно,
точка x=
абсцисса
точки перегиба, причем f(
)=
.
Таким образом, точка (
,
)
-
точка
перегиба графика функции.
7)На основании полученных данных строим график функции (рис.2.4).
y
0 0
x
1
e
рис. 2.4
Упражнения. Построить графики следующих функций:
1)
f(x)=xln
x. 2)
f(x)=
ln
x. 3)
f(x)=
.