Квадратичные формы.

Опр.

Квадратичной формой от n числовых переменных x₁, x₂, …,x_n называется однородный многочлен 2-ой степени от этих переменных.

Общая запись

; где a_ij = a_ji

Числа a_ij называются коэффициентами квадратичной формы

При n=2

При n=3

Опр.

Квадратичная форма называется канонической, если она содержит только квадраты неизвестных, т. е. a_ij=0, i=j

;

Опр.

Матрицей квадратичной формы F(x) симметричная матрица, на диагонали которой стоят коэффициенты при квадратах неизвестных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в i-той строке и j-том столбце равен половине коэффициента при x_i x_j

Матричная запись квадратичной формы

Рассмотрим евклидово пространство, элементами которого являются столбцы высоты n, а скалярное произведение 2-х столбцов определеноформулой

Тогда любую квадратичную форму можно записать:

;

где А-матрица квадратичной формы, а

Преобразование матрицы квадратичной формы при линейных преобразованиях.

Справедливо для произвольной матрицы А=(a_ij) и произвольных вектор-столбцов высоты n.

Опр.

Линейной заменой переменных называется переход от x₁,x₂,…,x_n к переменным y₁,y₂,…,y_n по формулам :

(1), где С=(С_ij)

перейдем к новым переменным по формуле (1)

Получим:

,

где В = с^ТАс (2 )

Формула (2) определяет матрицу квадратичной формы в новых переменных.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа

С помощью невырожденного линейного преобразования (замена переменных) произвольную форму можно привести к каноническому виду. Существует несколько способов приведения. Метод Лагранжа основан на выделении полного квадрата из квадратичного трехчлена.

На I-ом шаге выделяем полный квадрат из переменных, содержащих x₁, далее – x₂

Лекция 15

Приведение квадратичной форма к каноническому виду ортогональным преобразованием

Т^-1АТ=,

где Т- ортогональная матрица, по столбцам которой стоят собственные вектора, симметричные матрице А (ортонормированная), а -диагональная матрица с собственными значениями на диагонали.

Теорема:

С помощью ортогонального преобразования любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду.

Док-во:

От перейдем к новым переменным , где Т –ортогональная матрица из собственных векторов матрицы А

Получим:

, ,…, -собственные значения матрицы А

Канонический вид формулы

Алгоритм приведения к каноническому виду

- выписываем матрицу А

- находим собственные вектора и собственные значения

- строим ортонормированный базис из собственных векторов и выписываем матрицу Т

- пишем канонический вид формы

- указываем переход от к :

Закон инерции квадратичной формы

Теорема:

Число слагаемых с положительными и отрицательными коэффициентами при квадратах в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к каноническому виду.

Знакопостоянные квадратичные формы

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной если для любого

Опр.

Если для любого то форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной

Теорема:

Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной необходимо и достаточно чтобы все собственные значения матрицы формы были положительными (отрицательными).

Док-во следует из канонического вида:

;

y₁=1; y₂=y₃=…=y_n=0

Критерий Сильвестра знакоопределенности формы

Пусть дана матрица

Опр.

Угловыми минорами матрицы называются миноры , стоящие в левом верхнем углу: ; ;

Теорема: (Критерий Сильвестра)

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы формы были положительными.

Док-во: при n=2

;

Отсюда , если или

Следствие

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определена необходимо и достаточно чтобы знаки угловых миноров чередовались так:

, , …

Пояснение

Если форма , то форма

Лекция 15

Исследование кривых второго порядка

Вспомогательный факт: при сдвиге системы координат, координаты преобразования

При повороте на угол 

Произвольная ортогональная матрица Т второго порядка с det T=1 может быть записана в виде

Общее уравнение прямой второго порядка

Левая часть уравнения содержит 3 группы слагаемых:

1)

матрица

2)

3)

Приведем квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием. Для этого делаем замену , где Т- ортогональная матрица, по столбцам которой стоят ортогональные вектора матрицы формы. В новых переменных форма принимает вид , где , -собственные значения матрицы формы. Линейные слогаемые записываются в виде:

, где , - некоторые числа. Все уравнение принимает вид:

Д алее выделяем полный квадрат

Вводим новые переменные

Здесь предполагалось, что

В новых переменных ;

Далее рассматривается случай 1

1) - собственные значения одинаковых знаков.Считаем для определенности , . Тогда если , уравнение приводится к виду

;

;

Если Н=0 , то - это точки ,

Если Н < 0 , то вещественного образа нет

Случай 2

Пусть . При этом уравнение приводится к одному из видов:

- гипербола

-сопряженная гипербола

- пара пересекающихся прямых

Случай 3

, т.е. одно из собственных значений равно 0. Пусть

Тогда после приведение формы к каноническому виду получится уравнение:

Выделяем полный квадрат:

Пусть : ,

Новые переменные

; -уравнение параболы

Если , то уравнение сводится к виду

;

;

Пара параллельных прямых либо образа нет

Дискриминант квадратичной формы

Дискриминантом квадратичной формы

Называется число

Лемма

Док-во

Собственные значения находятся из уравнения:

Теорема

Всякое уравнение n-ого порядка определяет эллипс если , гиперболу если

, параболу если , включая вырожденные случаи

35