Евклидовы пространства

Опр: В линейном пространстве L задано скалярное произв если каждой паре векторов (x,y)L поставлено в соответствие число (х,у) так что выполняются аксиомы:(х,у,z,0 - векторы)

1. (x,y)= (y,x)

2. (ax,y)= a(x,y)

3. (x+y,z)= (x,z)+ (y,z)

4. (x,x)>0 если х0

5. (x,x)=0 если x=0

Опр: Линейное пространство L со скалярным произведением называют Евклидовым пространством.

В пространстве R_n скал прозвед обычно задают так (x,y)=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n. Легко проверить что все оксиомы выполняются. Простр R_n с таким скал произведением обозначают E_n.

Нер-во Коши-Буняковского

Для любых векторов x,yL справедливо нер-во: (x,y)²(x,х)(у,y) (1)

Док-во: (ax-y,ax-y)0

a²(x,x)-2a(x,y)+(y,y)0

Т.к. он принимает только неотр значения то дискриминант D’=D/40

D’=(b/2)²-ac=(x,y)²-(x,x)(y,y)0 из этого следует неравенство (1)

Опр: Нормой (длиной) вектора хL назыв число х=

Свойства норм:

1. х0 х=0  х=0

2. ||ax||=|a|*||x||

3. ||x+y||||x||+||y|| нер-во треугольника

Докажем (3)

Нер-во коши-Буняковского можно записать и так |(x,y)|=||x||*||y||

||(x,y)||²=(x+y,x+y)= (x,x)+2(x,y)+ (y,y)||x||²+2||x||*||y||+||y||²=(||x||+||y||)² отсюда ||(x,y)||||x||+||y||

угол между векторами х,уL назыв угол [0,] cos=((x,y)/(||x||*||y||)). Из нер-ва К-Б следует что правая часть всегда 1.

Опр: Вектора x,y наз ортоган если (x,y)=0. пишут ху

Докажем теорему Пифагора: Если ху то ||x+y||=||x||2+||y||2

Док-во: ||x+y||2==(x+y,x+y)= (x,x)+2(x,y)+ (y,y)= ||x||²+||y||²

Опр: Система вектр х₁,х₂.х₃..х_n наз ортогона если все вектора системы попарно ортоган-ны: (x_i,y_j)=0 ij

Лемма: ортоган система линейна независима

Док-во: Запишем рав-во: a₁х₁+a₂х₂+….a_nx_n=0 (1) умножим скалярно на х₁ получим a₁(x₁,x₁)=0  a₁=0 аналогично доказыв а₂=а₃=а_n=0

Опр: Система вектр х₁,х₂,х₃..х_n наз ортонормир если все вектора системы попарно ортоган-ны и их нормы =1

(x_i,y_j)=0 ij

(x_i,y_j)=1 i=j

Вектор с нормой 1 назыв единичным, для произв вектора х вектор е=(х/||x||) явл единичным.

Умножение вектора на множитель 1/||x|| назыв нормировкой

Процесс ортогонализации Грамма-Щмидта

Дана система линейно независим векторов f₁,f₂,,,f_n построим из нее ортогон систему e₁,e₂,,,e_n

1. Полагаем e₁=f₁

2. Вектор е₂ ищем в виде e₂=f₂+ae₁ число а выбираем из условия (e₂,e₁)=(f₂+ae₁,e₁)=0

(f₂,e₁)+a(e₁,e₁)=0 

3. Полагаем e₃=f₃+a₁e₁+a₂e₂ числа a₁,a₂ находим из условий (e₃,e₂)=(e₃,e₁)=0 из этих условий: продолжая этот процесс за конечное число шагов получим ортогон систему векторов.

Ортонормированный базис

Опр: Базис образующий ортонормированную систему называется ортонормированным

Теорема: В произвольном Евклидовым простр-ве сущ ортонормированный базис

Док-во: Возьмем произвольный базис f₁,f₂,,,f_n используя процесс ортоганализ построим из ее ортоган базис e₁,e₂,,,e_n. Далее с помощью нормировки строим ортонормир базис e'₁’,e₂’,,,e_n’ (e_k’=e_k/||e_k||)

Координаты вектора в ортонормир басисе e₁,e₂,,,e_n. Пусть x=x₁e₁+x₂e₂+,,,+x_ne_n (1) умножая (1) скалярно на e_k, k=1,2,,,n получим x_k=(x_k,e_k).

Вывод: координаты в ортонормированном базисе равны скалярным произведением вектора х на соответствующий базисный вектор.

Лекция 11

произведение Скалярное в ортонормированном базисе

Для ортонормированного базиса

Отсюда получим формулу

Вывод: в ортонормированном базисе скалярное произведение равно сумме попарных произведений координат. Для нормы вектора имеем простую формулу:

;

Скалярное произведение в произвольном базисе

Выражение для скалярного произведения в ортонормированном базисе дается формулой

ОПР.Матрицей Грамма в системе векторов называется матрица Г= с элементами

Г= ;

Ф-ла для скалярного произведения можно записать в виде

Определитель Грама.

ОПР.Определителем Грама G в системе векторов наз. Определитель матрицы Грама

G=det Г

ТЕОРЕМА

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда,когда G=detГ=0

ДОКАЖЕМ ДОСТАТОЧНОСТЬ

Пусть G=0. Рассмотрим равенство . Умножая его скалярно на вектора получим систему

Матрица этой однородной системы есть матрица Грама. Т.к по условию G=det Г=0, то система имеет нетривиальные решения Это означает, что система линейно независима.

Объемом параллелепипеда, построенного на векторах называется число V= , где G-определитель Грама.

Ортогональные дополнения пространства.

Пусть -подпространство евклидового пространства L.

ОПР.Множество векторов ортогональны каждому наз. Ортогональным дополнением и обозначается

ЛЕММА.Ортогональное дополнение само является подпространством.

ТЕОРЕМА.( О разложении пространства в прямую сумму). Пространство L разлагается в прямую сумму любого своего подпространства и его ортогонального дополнения .

Это значит, что произвольный вектор , принадлежащий L,можно представить в виде:

В равенстве вектор g наз. Ортогональной проекцией на составляющей относительно .

Лекция 12

Нахождение ортогональной проекции ортогональной составляющей.

Пояснение на примере.

Пусть дано подпространство с базисом . Найдем ортогональную проекцию на .

Т .к. , его можно разложить по базису. Отсюда

Умножая р-во (1) скалярно на и учитывая, что получим систему линейных ур-ий относительно

Решив систему

Аналогично рассматриваем случай подпространства с базиса

ОПР. Расстояние от вектора до наз. Норма

ОПР. Углом между и наз. Угол между и

Док-во

-ортонормированный базис. Произвольный вектор можно разложить по этому базису

Для любого положим

Оператор является сопряженным к A.

С другой стороны

Т.е. сопряженный оператор.

ТЕОРЕМА.В ортонормированном базисе матрица сопряженного оператора получается из матрицы А переходом транспонирования:

Док-во.

Пусть - матрица сопряженного оператора, тогда

Свойства сопряженных операторов:

1.

2.

3. .

4.

5.

6.

Докажем 3

Лекция 13

Самосопряженные операторы.

Оператор А наз. Самосопряженным, если

ТЕОРЕМА. В ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора всегда симметрична.

Док-во.

матрица симметрична.

Собственные вектора и собственные значения самосопряженного оператора.

ТЕОРЕМА 1. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

ТЕОРЕМА 2. Собственные вектора самосопряженного оператора, отвечающего различным собственным значениям ортогональны

Док-во. Пусть

Умножая скалярно и вычитая, получим:

ТЕОРЕМА 3. В евклидовом пространстве L cуществует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Другими словами самосопряженный оператор- оператор простой структуры.

Ортогональные матрицы.

Матрица, столбцы кот. Образуют ортонормированную систему векторов, назыв. Ортогональной.

Cв-ва ортогональной матрицы.

1.

2.

3.det A=

Докажем 1:

Представим матрицу как набор столбцов:

Докажем 3.

Ортогональный оператор.

ОПР.Оператор Т наз. Ортогональным, если

Cв –ва ортогональных операторов.

1.Ортогональный оператор сохраняет нормы векторов.

Док-во.

Таким образом

2.Ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.

Док-во.

3.Сохраняет ортогональность векторов.

4.В ортонорм. Базисе имеет ортогональную матрицу.

5.

Док-во.

С одной стороны

ТЕОРЕМА. Для того, чтобы оператор был ортогонален, необходимо и достаточно выполнения одного из условий:

1.Его матрица в ортонорм. Базисе ортогональна.

2. Оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированном.

3. Оператор сохраняет длины векторов.

Примером ортогонального оператора явл. оператор поворота на угол на плоскости.

Найдем матрицу этого оператора

- ортогональная матрица

Лекция 14