Ядро и образ линейного оператора

Пусть А оператор из LBL’ где L – n-мерное пространство

Опр: Множество векторов xL таких что Aх=0 называется ядром оператора и обозначается KerA

Размерность ядра называется дифектом оператора

Лемма: разм ядра равна n-r где r– ранг матр оператора dim(KerA)=n-r

Док-во: е₁,…,е_n базис с L, A=(a_ij) матрица оператора в этом базисе rgA=r в координатах получ систему однородн Ур-ний

0= a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃,

0= a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃

0 = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃.

Общее решение этой системы записывается в виде

Х=с₁х₁+с₂х₂+…+с_n-rх_n-r где х₁….х_n-r – ФСР следует что ФСР явл базисом ядра и размерностью ядра n-r

Опр: Множество векторов уL таких что Aх=у называется образом оператора и обозначается ImA

Размерность образа называется рангом оператора

Лемма: Размерность образа равна рангу матрицы оператора dim(ImA)=r

Док-во Пусть х =х₁е₁ + х₂е₂ +…+ х_nе_n тогда у=Ах=х₁Ае₁+…+х_nАe_n Из последнего равенства следует что образ есть линейная оболочка векторов

Ае₁, Ае₂, …. Ае_n

Т.к. по столбцам матрицы оператора стоят координаты этих векторов то dim(ImA)=r

Теорема: Сумма размерн ядра и образа равна размерности всего пространства dim(ImA)+ dim(kerA)=n

Док-во: dim(ImA)+ dim(kerA)=r+(n-r)=n

Опр: Суммой операторов А и В назыв опер С такой что Сх=Ах+Вх пишут А+В=С

Опр: Произв оператора А на  назыв опер С : Сх=Ах или С=А

Теорема: Сумме и произв операт-ов отвечает сумма и произв их матриц. При умнож операт на число его матрица также умнаж на это число

Операции с операторами

А+В=В+А

А+(В+С)=(А+В)+С

А(ВС)=(АВ)С

(А+В)С=АС+ВС

С(А+В)=СА+СВ

В общем случае АВВА

Опр: Оператор А-1 назыв обратным к А если А^-1А=АА^-1=Е (Ех=х)

Теорема: Оператор А имеет обратный тода когда его матрица в некотором базисе не вырождена. Матрица обр оператора равна обратной матрице

Лекция 9

Собственные вектора и собственные значения

Опр. Не нулевой вектор х называется собственным вектором оператора А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах = λх, число λ называется собственным значением оператора А.

Свойства Собственных векторов и собств значений

1. Каждому собственному вектору соответствует только одно собств значение

Док-во: предположим противное Ах=λх, Ах=λ₁х вычитая их друг из друга получим 0=(λ-λ₁)х значит λ=λ₁

2. Если х собственный вектор отвеч λ то и х также собственный вектор отвеч λ.

Док-во: Пусть Ах=λх тогда А(х)= Аλх=λх=λ(х) т.е. А(х) =λ(х)

3. Если х₁ и х₂ собствен вектора отвеч λ то их сумма х₁+х₂ также собственнй вектор

Док-во: Ах₁=λх₁, Ах₂=λх₂ тогда А(х₁+х₂)=Ах₁+Ах₂=λх₁+λх₂=λ(х₁+х₂)

Более общее св-во: Если х₁,х₂,,,х_к- собств вектора, отвеч λ то любая их линейн комбин также собственный вектор отвеч λ.

4. Собств вектора отвеч различным собственным знач линейнонезависимы

Докажем для 2-х векторов: Ах=λ₁х Ау=λ₂ у λ₁λ₂ Покажем что х и у лин независимы Предположим противное т.е. что они зависимы тогда у=λх Из св-ва (2) следует что у отвечает собственному знач λ₁(противоречие).

В общем случ док-ся методом мат индукции.

Инвариантные подпространства

Подпр-во L₁L наз инвариант подпростр оператора А если хL₁, АхL₁. Из св-в (2) и (3) следует что множество векторовотвечающих одному собств знач λ образ инвариантное пр-во.

Характеристическийй многочлен оператора

Характеристическийй многочлен оператора А называется определитель det| A - λE| где А матрица оператора в некотором базисе В n-мерном пр-ве характерист многочлен явл многочлен степени n относительно λ

Характеристич уравнением называется Ур-е  λ =det| A - λE|

Теорема(инвариантность характеристич многочлена): Характеристическийй многочлен не зависит от выбора базиса

Док-во: Пусть А и А’=Т^-1АТ матрицы операторов в разл базисах. Т – матрица перехода.

det(A’ - λE) = det(T^-1AT - λT^-1T) = det[T^-1(A - λE)T] = detT^-1det(A - λE)detT = det(A - λE).

Det(A’ - λE) = det(A - λE)

Нахождение Собственных векторов и собств значений.

Теорема: Если оператор А имеет собственное значение, то они явл корнями характиристич многочлена

Пусть Ах=λх (1) это рав-во можно записать в виде (А-λЕ)х=0 (2). В коорд записи ур-е (2) есть система однородн линейных уравнений Эта система имеет не тривиальное решение если опред матрицы системы = 0 (Из Т Крамера). Отсюда det| A - λE|=0 т.е. λ – корень характеристич многочлена.

В вещ пространстве оператор А может не иметь собств знач т.к. корни характеристич многочлена могут быть комплексными.

Алгоритм нахождения собств векторов и значений

1. Находим собственное значения решая характ Ур-ние det| A - λE|=0

2. Записываем систему для нахождения собственных векторов | A - λE|х=0

3. Подставляя в эту систему найденные λ находим собств вектора – ФСР однородн системы. Число собств векторов отвечающих λ=λ₁ равна n-r_i, где r_i=rg(A-λ_iE)

Лекция 10