А. Прямая параллельна одной плоскости проекций

      1. Прямая параллельна пл. , (рис. 50). В таком случае фронтальная проекция прямой параллельна оси проекций и горизонтальная проекция отрезка этой прямой равна самому отрезку: А'В'=АВ. Такая прямая называется горизонтальной.       Если, например, проекция А"В" совпадает с осью проекций, то отрезок АВ расположен в пл. , ²).                         Рис. 50                   Рис. 51       2. Прямая параллельна пл. 2 (рис. 51). В таком случае ее горизонтальная проекция параллельна оси проекций и фронтальная проекция отрезка этой прямой равна самому отрезку: C"D" = CD. Такая прямая называется фронтальной.       Если, например, проекция C'D' совпадает с осью проекций, то это соответствует положению отрезка CD в самой пл. 2.       ') Все это, конечно, с учетом масштаба чертежа.       ²) На рис. 50 справа дан чертеж без указания оси проекций. То же сделано на рис. 51.       27       3. Прямая параллельна пл. 3 (рис. 52). В таком случае горизонтальная и фронтальная проекции прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси проекций Ох и профильная проекция этой прямой равна самому отрезку: E"F" = EF. Такая прямая называется профильной.                         Рис. 52 Рис. 53       Можно ли считать, что на чертежах, подобных указанным на рис. 50 и 51, изображены отрезки именно прямых линий? Да; доказательство такое же, как для прямой общего положения (рис. 46).       Если же на чертеже в системе 5 2 обе проекции перпендикулярны к оси проекций, то проецирующие плоскости, проведенные через E'F и E"F", сливаются в одну и оригиналом может быть не только прямая линия, но и некоторая плоская кривая (рис. 53).

Б. Прямая параллельна двум плоскостям проекций

      1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. е. перпендикулярна к пл. 3. Проекция на пл. 3 представит собой точку.       2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. е. перпендикулярна к пл. 2. Проекция на пл. 3 представляет собой отрезок прямой, равный CD'.                   Рис. 54 Рис. 55 Рис. 56 Рис. 57       3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. е. перпендикулярна к       пл. nt. Проекция на пл. 3 представит собой отрезок, параллельный и равный E"F".       На рис. 57 дано наглядное изображение положения рассмотренных прямых').       ') Для этих прямых встречается название "проецирующие прямые".       28             Рис. 58 Рис. 59       Обычно строятся проекции отрезков прямой линии с указанием концевых точек отрезка. Если же по каким-либо причинам показывают некоторую неопределенную часть прямой линии, то практически тоже показывают отрезок линии, но не обозначают концевых точек этого отрезка. При этом можно пользоваться обозначением каждой проекции только одной буквой, относя ее к какой-либо точке прямой (рис. 58): "прямая, проходящая через точку А".       Обратим внимание на чертеж слева на рис. 59. Относительно прямой, изображенной на нем, можно сказать лишь то, что она проходит через точку L и параллельна пл. jtj, но в остальном положение этой прямой не определяется. Определенность была бы внесена горизонтальной проекцией, т. е. проекцией на плоскости, по отношению к которой прямая параллельна.       Если же мы имеем дело с прямой, заданной двумя своими точками (например, с отрезком прямой, заданным своими концами), то можно точно определить положение этой прямой и в том случае, если не задана ее проекция на плоскости, параллельной этой прямой. Так, например, если дан отрезок АВ прямой (рис. 59, справа), то мы можем установить не только параллельность этой прямой по отношению к пл. -, но и то, что точка A данной прямой более удалена от пл. 2, чем точка В.       § 12. ТОЧКА НА ПРЯМОЙ. СЛЕДЫ ПРЯМОЙ       На рис. 60 дан чертеж некоторой прямой общего положения, проходящей через точку А. Если известно, что точка В принадлежит этой прямой и что горизонтальная проекция точки В находится в точке В', то фронтальная проекция В" определяется так, как показано на рис. 60.       На рис. 61 показано построение точки на профильной прямой. Положим, что задана проекция С" этой точки; надо найти ее горизонтальную проекцию. Построение выполнено при помощи профильной проекции А'"В"' отрезка АВ, взятого на профильной прямой. Ход построения показан стрелками. Сначала определена проекция С", а по ней -- искомая проекция С".       Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение       АС А°С°       отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рис. 62):                         Рис. 61 Рис. 62       29       как прямые АА°, СС° и ВВ° параллельны между собой. Аналогично, отношение отрезков на проекции прямой линии равно отношению отрезков на этой прямой. Если бы точка делила пополам отрезок прямой, то проекция этой точки также делила бы проекцию отрезка пополам, и наоборот.       Из сказанного следует, что на рис. 61 деление проекций А"В" и А'В' точками С" и С' соответствует делению в пространстве отрезка АВ точкой С в том же отношении. Этим можно воспользоваться для более простого построения точки на профильной прямой. Если (как и на рис. 61) на проекции А"В" (рис. 63) задана проекция С", то, очевидно, надо разделить А'В' в том же отношении, в каком точка С" делит проекцию А"В". Проведя из точки А' некоторую вспомогательную прямую, откладываем на ней = А"С" и 1 -2 = С"В". Проводим прямую В'2 и параллельно ей через точку 1 прямую до пересечения с А'В' в точке С'. Эта точка представляет собой искомую горизонтальную проекцию точки С, принадлежащей отрезку АВ.                               Рис. 63 Рис. 64 Рис. 65 Рис. 66       На рис. 64 дан пример деления отрезка прямой линии в некотором заданном отношении.       Отрезок CD разделен в отношении 2:5. Из точки С' проведена вспомогательная прямая, на которой отложено семь (2 + 5) отрезков произвольной длины, но равных между собой. Проведя отрезок D'7 и параллельно ему через точку 2 прямую, получаем точку К', причем С'К': K'D' = 2:5; затем находим К". Точка К делит отрезок CD в отношении 2 :5.       На рис. 65 показаны точки и , в которых прямая, заданная отрезком АВ, пересекает плоскости проекций. Эти точки называются следами: точка -- горизонтальный след прямой, точка N -- ее фронтальный след.       Горизонтальная проекция горизонтального следа (точка М') совпадает с самим следом, а фронтальная проекция этого следа М" лежит на оси проекций. Фронтальная проекция фронтального следа " совпадает с точкой , а горизонтальная проекция ' ' лежит на той же оси проекций.       Следовательно, чтобы найти горизонтальный след, надо (рис. 66) продолжить фронтальную проекцию А"В" до пересечения с осью 2/ и через точку М" (фронтальную проекцию горизонтального следа) провести перпендикуляр к оси 2/1 до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А'В'. Точка М' -- горизонтальная проекция горизонтального следа; она совпадает с самим следом (= знак совпадения).       Для нахождения фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию А'В' до пересечения с 2/1; через точку ' (горизонтальную проекцию фронтального       30       следа) проводим перпендикуляр до пересечения с продолжением фронтальной проекции А"В". Точка N" -- фронтальная проекция фронтального следа; она совпадает с самим следом.       По положению точек и N можно судить, к каким четвертям пространства отнесена данная прямая. На рис. 65 прямая АВ проходит через IV, I и II четверти.       Прямая не имеет следа на плоскости проекций том случае, когда она параллельна этой плоскости.       На рис. 67 прямая пересекает не только пл. 1 и 2, но и пл. 3. Точка -- профильный след прямой, т. е. след на профильной плоскости проекций. Этот след совпадает с его собственной проекцией на пл. 3, а фронтальная и горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях z и у.                   Рис. 67       В данном случае прямая проходит за точкой через пятый октант и, встречая далее пл. 2, уходит в шестой октант; прямая из первого октанта выходит в четвертый октант ').       Соответствующий чертеж дан на рис. 67 справа. Прямая показана в первом октанте -- проекции М'Р', М"Р" и М'"Р'" и в пятом октанте -- проекции '', "" и "'"'.                   Рис. 68       Если плоскости проекций принять за плоскости координат, то у горизонтального следа прямой координата z = 0, у фронтального следа у = 0, у профильного следа -- 0.       Построение следов профильной прямой (рис. 68) может быть выполнено следующим способом (рис. 68, справа).       ') Условимся показывать на чертежах сплошными линиями те проекции, которые соответствуют положению отрезка в первой четверти или в первом октанте.       31       Строим профильную проекцию (A'"B'"), определяем положение профильных проекций горизонтального следа (М'") и фронтального следа (N'") и затем находим положение остальных проекций этих следов (последовательность построения на чертеже показана стрелками).