Глава 1. Дифференциальные уравнения в частных производных. Задача Коши. Типы уравнений второго порядка в частных производных.

1. Дифференциальные уравнения в частных производных.

Рассмотрим функцию нескольких независимых переменных .

Частные производные 1-го порядка данной функции по переменной вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования, при этом все переменные, кроме , рассматриваются как постоянные.

Обозначение: .

Частными производными 2–ого порядка функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначение: .

Пример. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функции .

Решение:

Считая y постоянной, получим: . Считая x постоянной, получим: . Соответственно: , , .

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным. Если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:

1. – обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка;

2. – обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;

3. – обыкновенное дифференциальное уравнение 3-го порядка;

4. – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка;

5. – уравнение в частных производных 1-го порядка;

6. – уравнение в частных производных 2-го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

1. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка

Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Так, например:

1) при изучении различных видов волн − упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению

,

где а − скорость распространения волн в данной среде;

2) процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:

,

3) при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона

.

При отсутствии источников тепла внутри тела уравнение данное переходит в уравнение Лапласа

.

Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля также удовлетворяют уравнению Лапласа, в котором отсутствуют массы и, соответственно, электрические заряды.

Приведенные уравнения называют основными уравнениями математической физики. Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.

Функция , удовлетворяющая какому-либо из приведенных уравнений, называется его решением.

2. Понятие об общем решении уравнения в частных производных

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка: . Его общий интеграл представляет собой некоторое семейство функций, зависящее от n произвольных постоянных . Любое частное решение получается из него, если параметрам придать определенные значения.

Рассмотрим решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.

Пример 1. Пусть дано уравнение , где .

Решение: найдем его общий интеграл, т.е. функцию , удовлетворяющую данному уравнению. Для этого сначала запишем это уравнение в виде: . Поскольку производная по переменной х от величины, стоящей в скобках, равна нулю, то последняя является некоторой произвольной функцией от у: . Поэтому . Но интегрируя произвольную функцию , получим новую, также произвольную функцию, скажем , плюс произвольная функция ( играет роль произвольной постоянной интегрирования в теории обыкновенных дифференциальных уравнений). Таким образом, общий интеграл уравнения второго порядка содержит две произвольные функции.

Пример 2. Решить уравнение , где .

Решение: проинтегрируем обе части уравнения по х:

,

где – произвольная функция.

Пример 3. Решить уравнение , где .

Решение: проинтегрируем обе части уравнения по у:

.

Получаем , где – произвольная функция. Интегрируем повторно по у полученное равенство:

,

где – произвольные функции.

Пример 4. Решить уравнение , где .

Решение: проинтегрируем обе части уравнения сначала по х, а затем по у:

,

тогда

,

где – произвольные функции.

Замечание: в отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от произвольных постоянных, общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций, количество которых равно порядку уравнения.

Упражнения

Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений с частными производными. Выполнить проверку.

1. .

Ответ: .

2. .

Ответ: .

3. .

Ответ: .

4. .

Ответ: .

5. .

Ответ: .

6. .

Ответ: .

7. .

Ответ: .

8. .

Ответ: .

9. .

Ответ: .

10. .

Ответ: .

11. .

Ответ: .

12. 

Ответ: .