1.2.3 Корни многочленов.

Если , т. е. многочлен обращается в нуль при подстановке в него числа вместо неизвестного, то с называется корнем многочлена (или уравнения ).

Теорема 1. Остаток от деления многочлена на линейный многочлен равен значению многочлена при .

Следствие 1. Число тогда и только тогда будет корнем многочлена , если делится на .

Таким образом, разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линей­ных делителей. Метод деления многочлена на линейный двучлен , более простой, чем общий алгоритм деления многочленов - метод Горнера, который мы рассмотрим на примере.

Кратные корни. Если - корень многочлена , т.е. , то делится, как мы знаем, на . Может оказаться, что многочлен делится не только на первую степень линейного двучлена , но и на более высокие его степени. Во всяком случае найдется такое натуральное число k, что нацело делится на , но не делится на . Поэтому где многочлен на уже не делится, т. е. число с своим корнем не имеет. Число называется кратностью корня в много­члене , а сам корень - кратным корнем этого многочлена. Если , то говорят, что корень — простой.

Понятие кратного корня тесно связано с понятием производной от многочлена: пусть дан многочлен -й степени c любыми комплексными коэффициентами. Производной многочлена называется многочлен -й степени .

Теорема 2. Если число с является k-кратным корнем многочлена , то при оно будет -кратным корнем первой произ­водной этого многочлена; если же , то с не будет служить корнем для .

1.2.4 Основная теорема и ее следствия.

Основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Следствия из основной теоремы. Пусть данный многочлен -й степени,

(1),

с любыми комплексными коэффициентами. Используя основную теорему можно утверждать, что многочлен обладает разложением многочлена -й степени в произведение n линейных множителей:

. (2)

Разложение (2) является для многочлена единственным с точностью до порядка сомножителей разложением такого типа.

Теорема 1. Всякий многочлен степени , , с любыми число­выми коэффициентами имеет n корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.

Теорема 2.Если многочлены и , степени которых не превосходят n, имеют равные значения более чем при различных значениях неизвестного, то .

Таким образом, учитывая, что различных чисел бесконечно много, можно утверждать, что для любых двух различных многочленов и найдутся такие значения неизвестного , что . Такие можно найти не только среди комплексных чисел, но и среди действительных, среди рациональных и даже среди целых чисел.

Вывод: два многочлена с числовыми коэффициентами, имеющие хотя бы при одной степени неизвестного различные коэффициенты, будут различными комплексными функциями комплексного переменного x.

Многочлены с действительными коэффициентами. Всякий многочлен с действительными коэффициентами представим, притом единственным способом (с точностью до порядка множителей), в виде произведения своего старшего коэффициента а и нескольких многочленов с действительными коэффициентами, линейных вида , соответствующих его действительным корням, и квадратных, соответствующих лирам сопряженных комплексных корней.