Тема 2. Средние величины
Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной продукции. Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения. Средний показатель отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности и в то же время он игнорирует различия отдельных единиц.
Средние величины должны вычисляться с учетом экономического содержания экономического показателя. Поэтому для конкретного показателя, используемого в социально-экономическом анализе, можно исчислить только одно среднее значение на базе научного способа расчета.
Наиболее распространенным
видом средних является средняя
арифметическая. Средняя арифметическая
простая равна простой сумме отдельных
значений признака , деленной на общее
число этих значений и применяется для
несгруппированных значений
С
редняя
арифметическая взвешенная есть средняя
сгруппированных величин и вычисляется
по формуле
г
де
-
веса (частоты повторения одинаковых
признаков),
-
сумма
произведений величин признаков на их
частоты,
-
общая численность единиц совокупности.
Когда
статистическая информация не содержит
частот
по
отдельным вариантам
совокупности,
а представлена как их произведение
,
применяется формула средней гармонической
взвешенной. Чтобы исчислить среднюю,
обозначим
,
откуда
.
Тогда
С редняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени из произведений отдельных значений признака
Особым видом средних являются структурные средние – мода и медиана.
М
ода
в
дискретном вариационном ряду – признак,
имеющий наибольшую частоту. В интервальных
рядах распределения мода вычисляется
по формуле
где
- нижняя граница модального интервала,
-
длина модального интервала,
-
частоты в модальном, предмодальном и
послемодальном интервалах.
Медиана
в
дискретном вариационном ряду – значение
признака, который находится в середине
вариационного ряда. В интервальных
рядах распределения медиана вычисляется
по формуле
г
де
-
нижняя граница медианного интервала
(на медианном интервале накопленная
сумма частот делится пополам),
-
половина от общего числа наблюдений,
-
сумма наблюдений, накопленная до начала
медианного интервала,
-
частота медианного интервала.
Тема 3. Показатели вариации
Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности. К показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, а также коэффициент вариации.
Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R, предоставляющий собой разность между максимальными и минимальными значениями признака:
Среднее линейное отклонение d представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианты :
Средние линейные отклонения:
для
несгруппированных данных
где n – число членов ряда;
для
сгруппированных данных
,
где
- сумма частот вариационного ряда.
Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариант их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных).
Простая
дисперсия для несгруппированных данных
.
Взвешенная
дисперсия для вариационного ряда
Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:
для
несгруппированых данных
для
вариационного ряда
Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.
Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэфициент не превышает 33%