Геометричні зміни коефіцієнтів k та b лінійної функції

1 .У формулі значення означає ординату точки перетину прямої з віссю OY.

2. Для функції число називається кутовим коефіцієнтом і виражає кута нахилу прямої до додаткового нахилу осі OX . Оскільки прямі і паралельні, то кут нахилу до додатного напряму осі OX рівні як відповідні кути при перетину перпендикулярних прямих січною. Отже, .

Означення. Рівняння виду , де А, В, С – довільні числа називається загальним рівнянням прямої (А,В,С – коефіцієнти рівняння прямої).

Розглянемо різні випадки значень коефіцієнтів:

1). ;

. Позначимо отримаємо рівняння .

Якщо коефіцієнт при х і у 0, а вільні члени дорівнюють 0, рівняння виражає пряму, яка проходить через початок координат.

2).

. Позначимо , отримаємо

.

Якщо жоден з коефіцієнтів , то це рівняння виражає пряму, яка перетинає обидві осі координат.

3). Позначимо .

Якщо коефіцієнт А=0, а інші не дорівнюють нулю, то це рівняння виражає пряму паралельну осі OX.

4).

Якщо коефіцієнт В=0, а інші не дорівнюють нуль, то загальне рівняння прямої виражає пряму паралельну осі OY.

5). - вісь OX.

6) - вісь OY.

Легко бачити, що коефіцієнти А і В одночасно рівні нулю бути не можуть, бо тоді С=0 (одночасно).

Різні способи задання прямої

1. За даним кутовим коефіцієнтом і точкою, що належить прямій.

Оскільки точка належить прямій, то її координати задовольняють рівнянню пряма . Звідси . Підставимо в (1)

(2)

2. За двома точками, що належать прямій .

Оскільки точки і належать прямій, то координати задовольняють рівнянню прямої: .

.Отже, .

Підставимо у формулу (2) значення k:

.

- рівняння прямої, що проходить через дві точки.

5. Означення. Квадратною називають функцію виду , де a,b,c деякі числа, причому . Розглянемо властивості квадратної функції на прикладі .

Властивості

1. Область визначення функції множина всіх дійсних чисел.

2. Область значень при а>0 , при .

3. Графіком функції є крива, яка називається параболою, вершина якої знаходиться в початку координат.

4. Функція є парною . Парабола розташована симетрично відносно осі OY.

5. П ри а>0 функція спадає на проміжку і зростає на проміжку . При функція спадає на проміжку і зростає .

6. При а>0 парабола розташована у верхній півплощині, при a<0– у нижній.

7. При а>0 функція обмежена знизу віссю OX , при a<0- зверху віссю ОХ.

8. При вітки параболи розташовані ближче до осі OY, при вітки розташовані ближче до осі OX.

9. Квадратна функція виду має найбільше чи найменше значення, якого досягає у вершині параболи . При а>0 – найменше, a<0 – найбільше.

Перетворення графіків квадратної функції

0. Графік функції можна отримати з графіка функції при a>1

розтягом від осі OX, при стиском до осі OX.

1. Легко бачити, що графік функції , при a<0 можна отримати з графіка функції при а>0 виконавши симетричне відображення відносно осі.

2. Графік функції можна отримати з графіка функції паралельним перенесенням вздовж осі OY на b одиниць вверх чи вниз залежно від знака b (якщо b>0↑, b<0↓).

3. Графік функції можна отримати з графіка функції змістивши його вздовж осі OX на m одиниць вправо, якщо а>0 , вліво , якщо a<0.

4. Графік функції може бути отриманий з графіка функції , якщо її подати у вигляді і виконавши перетворення 1, 2, 3, 4.