Тема 1.4. Ряды.

Вопросы.

1. Числовые ряды. Общие понятия. Сумма ряда.

2. Геометрическая прогрессия. Гармоничный ряд. Ряд Дирихле.

3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

4. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признаки Лейбница

5. Функциональные ряды, основные понятия.

6. Сходимость степенных рядов, интервал и радиус сходимости степенного ряда.

7. Разложение функции в ряд Тейлора и Маклорена.

Задания для самопроверки.

1. Используя определение частичной суммы ряда, показать, что ряд сходится и найти его сумму

2. Показать, что ряд сходится

3. Написать пять первых членов последовательности, если ее n-й член a_n имеет вид: a) ; b) ; c) ; d) .

4. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд расходится.

5. Исследовать на сходимость ряд

1. 

2. 

3. 

6. С помощью признака Даламбера решить вопрос о сходимости ряда

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. где k - положительное число.

7. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

8. Исследовать на сходимость ряд

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

9. Исследовать сходимость ряда в точках x = 1, x = 3, x = -2.

10. Найти область сходимости степенного ряда

11. Исследовать на сходимость степенной ряд

1. .

2. .

3. 

12. Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

13. Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

14. Разложить функцию  в ряд Тейлора по степеням

15. Разложить функцию  в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

16. Разложить функцию  в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

Тема 2.1.

Множества и отношения.

Вопросы:

1. Элементы и множества. Задание множеств.

2. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение.

3. Законы двойственности (де Моргана).

4. Декартово произведение множеств.

5. Отображение множеств.

6. Отношения множеств (рефлексивность, симметричность, транзитивность).

7. Алгебра высказываний.

8. Определение и обозначение логических операций.

9. Основные равносильности.

10. Комбинаторика (сочетания, размещения, перестановки).

Задания для самопроверки.

1. Доказать принцип двойственности: C(A U B) = CA ∩ CB, C(A ∩ B) = CA U CB.

2. Доказать равенства A U (A ∩ B) = A ∩ (A U B) = A.

3. Доказать равенства: a) CCA = A; б) ; в) .

4. Доказать справедливость включения .

5. Определить множества A U B, A ∩ B, A\B, B\A, A Δ B, если:               а) A = {x: 0 < x < 2}, B = {x: 1 ≤ x ≤ 3};               б) A = {x: x² - 3x < 0}, B = {x: x² - 4x + 3 ≥ 0};               в) A = {x: |x - 1| < 2}, B = {x: |x - 1| + |x - 2| < 3}.

6. Имеем . Показать, что .

7. Пусть A = {x: 2 ≤ x ≤ 4}, B = {y: 1 ≤ y ≤ 3}. Изобразить на плоскости xOy множество точек A × B.

8. Доказать, что (A ∩ B) × (D ∩ E) = (A × D) ∩ (B × E).

9. Начертите фигуры, изображающие множества , где - вещественная плоскость. Какие фигуры изображают множества ?

10. Определите свойства следующих отношений: 1. «прямая x пересекает прямую y» (на множестве прямых) 2. «число x больше числа y на 2» (на множестве натуральных чисел) 3. «число x делится на число y без остатка» (на множестве натуральных чисел) 4. «x - сестра y» (на множестве людей).

11. Построить таблицу истинности и определить выполнимость формулы:

12. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

13. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

14. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

15. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

16. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

17. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

18. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

19. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

20. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

Примечание: в заданиях символом CA – обозначается дополнение множества A.