2.3. Полный факторный эксперимент

В большинстве случаев при проведении опытов факторы поддерживают на 2-х уровнях (верхнем и нижнем) [3]. Если число уровней m, а число факторов k, то общее число опытов в эксперименте , но большинство опытов проводится на двух уровнях, т.е. при m=2, то в этом случае число опытов, которые надо провести, равно 2^k. Если мы имеем два фактора, т.е. k=2, то число опытов N=4. Если число факторов k=3, то число опытов равно 8.

Полным факторным экспериментом называется такой эксперимент, при котором проводятся опыты при всех сочетаниях уровней факторов. Цель первого этапа планирования экстремального эксперимента – получение линейной модели. Он предусматривает варьирование факторов на двух уровнях.

Факторный эксперимент реализуют с помощью матрицы планирования, в которой используют кодированные значения факторов. Так, например, для двух и трех факторов полный факторный эксперимент типа 2^k можно представить матрицами, приведенными в табл. 2.1.

Число строк в матрице равно количеству опытов. Знаками +1 и –1 обозначают верхний и нижний уровни факторов X₁, Х₂ и Х₃ в опытах. Значения функции отклика, полученные при выполнении опытов, обозначены через Y.

Для упрощения записи условий эксперимента в матрице планирования вместо +1 пишут только « + », а вместо –1 - только «–».

При k=2, моделью первой степени будет уравнение регрессии вида .

Значения коэффициентов в этом уравнении определяют с помощью значений функции отклика, полученных в результате опытов.

Таблица 2.1

^{Матрицы полного факторного эксперимента типа 22}

Номер опыта	X1	Х2	Y	Номер опыта	X1	Х2	X1 Х2	Y
1	–	–	Y1	1	+	–	–	Y1
2	+	–	Y2	2	+	+	+	Y2
3	–	+	Y3	3	–	+	–	Y3
4	+	+	Y4	4	–	–	+	Y4

Под числом степеней свободы в статистике понимают разность между числом опытов и количеством коэффициентов модели (уравнения регрессии), вычисленных по результатам опытов.

Так, например, при двух факторах число N опытов равно четырем, а для определения коэффициентов уравнения регрессии достаточно результатов трех опытов. Таким образом, в рассматриваемом случае, число степеней свободы, равное единице, может быть использовано для проверки адекватности модели. Величина и знак коэффициента регрессии указывают на вклад данного фактора в общий результат при переходе с нулевого на верхний или нижний уровень фактора. Линейным называют эффект, характеризующий линейную зависимость параметра оптимизации от соответствующих факторов.

Эффектом взаимодействия называют эффект, характеризующий совместное влияние нескольких факторов на параметр оптимизации. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить линейные эффекты и все эффекты взаимодействия. Для полного факторного эксперимента типа 2² линейное уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить выражением .

При увеличении числа факторов количество возможных сочетаний уровней быстро возрастает, поэтому возникает необходимость в некоторых приемах построения матриц. Рассмотрим два наиболее простых приема.

Первый прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце (x₁) знаки чередуются поочередно, во втором они чередуются через 2, в третьем – через 4, в четвертом – через 8, в пятом – через 16 и т. д. по степеням двойки.

Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана сначала при значении нового фактора на верхнем уровне, а затем на нижнем.

Матрица планирования – это таблица, в которой представлены верхние и нижние уровни факторов в их кодовом обозначении, номера опытов, а также параметры оптимизации в кодовом обозначении (параметров оптимизации может быть один или несколько). Кодирование параметров оптимизации проще, чем кодирование факторов. Оно выполняется простой заменой натурального значения параметра на Y, например, вместо скорости подачи S вводим кодовое обозначение Y₁. Каждая строка матрицы планирования представляет собой один опыт и содержит номер опыта, верхний, нижний уровни факторов и значение параметра оптимизации, полученное в результате проведения опыта. Содержание любой горизонтальной строки в матрице планирования представляет собой условия проведения одного опыта. Так, например, строка 3 в матрице, представленной в табл. (2.2), свидетельствует о том, что третий номер опыта следует проводить на нижнем уровне фактора X₁, на верхнем уровне фактора Х₂, а полученное значение параметра оптимизации будет представлять у₃ (его находят измерением при проведении третьего опыта).Проведя все опыты, условия которых представлены в строках матрицы, получают результат многофакторного эксперимента, который в дальнейшем подлежит статистической обработке. В подавляющем большинстве технологические процессы механической и физико-технической обработки изделий машиностроения характеризуются не одним, а сразу несколькими параметрами (например, обработанная поверхность характеризуется шероховатостью, волнистостью, точностью размера, формы и т.д.).

Таблица 2.2

Матрица планирования для эксперимента N = 2² =4

№ опыта	Факторы		Параметр оптимизации
	x1	x2	y
1	–	–	y1
2	+	–	y2
3	–	+	y3
4	+	+	y4

Буквенное выражение

содержания матрицы:

(1)

а

в

ав

Таблица 2.3

Матрица планирования для эксперимента N = 2³ =8

№ опыта	Факторы			Параметр оптимизации
	x1	x2	x3	y
1	–	–	–	y1
2	–	–	+	y2
3	–	+	–	y3
4	–	+	+	y4
5	+	–	–	y5
6	+	–	+	y6
7	+	+	–	y7
8	+	+	+	y8

При этом, что очень важно, названные параметры могут зависеть от одних и тех же факторов.

В этих условиях при проведении опытов согласно матрице планирования целесообразно измерять не только один, но и другие интересующие экспериментатора параметры.

Такой подход позволит значительно сэкономить время на проведение экспериментов, поскольку данные опытов по другим параметрам будут использованы при обработке результатов с целью получения уравнений регрессии, связывающих независимые факторы с интересующими нас параметрами.

Описанная процедура применима и к другим матрицам планирования, содержащим 2 и более факторов (табл. 2.3 и 2.4), но эти матрицы должны обладать нижеследующими свойствами [1]:

- симметричность матрицы планирования эксперимента относительно центра эксперимента: алгебраическая сумма элементов вектора-столбца каждого фактора равна 0, т.е.

(2.8)

i-номер опыта; k-номер фактора; N – число опытов в матрице планирования.

- нормированность: сумма квадратов, элементов каждого столбца равна числу опытов

. (2.9)

- ортогональность матрицы планирования: для двух любых неравных друг другу факторов сумма скалярного произведения двух вектор-столбцов равна 0, то есть

. (2.10)

- рототабельность: точка в матрице планирования подбирается так, что точность предсказаний параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях и не зависит от направления.

При увеличении числа факторов от 2 до к матрицу планирования N=2² =4 можно последовательно достраивать в соответствии с числом факторов, которое выбрал экспериментатор при этом он получит ту матрицу, которая требуется.

Такая процедура достраивания представлена в табл. 2.4.

В табл. 2.2 и 2.4 в крайнем правом столбце указаны строчные буквы латинского алфавита, совокупность которых представляет собой содержание матрицы планирования в более компактном буквенном выражении.

Подготовку, проведение многофакторных экспериментов можно выполнять в последовательности: обоснование эксперимента; выбор параметров оптимизации; выбор факторов, расчет уровней, их кодирование; выбор плана, матрицы планирования; проведение эксперимента; обработка результатов эксперимента; проверка уравнения регрессии на адекватность; анализ результатов; формулировка выводов и научно-обоснованных рекомендаций.

Таблица 2.4

Матрица планирования при увеличении числа факторов

№	x0	x1	x2	x3	x4	x5	Буквенное выражение содержания матрицы
1	+	+	+	+	+	+	abcde
2	+	–	+	+	+	+	bcde
3	+	+	–	+	+	+	acde
4	+	–	–	+	+	+	cde
5	+	+	+	–	+	+	abde
6	+	–	+	–	+	+	bde
7	+	+	–	–	+	+	ade
8	+	–	–	–	+	+	de
9	+	+	+	+	–	+	abce
10	+	–	+	+	–	+	bce
11	+	+	–	+	–	+	ace
12	+	–	–	+	–	+	ce
13	+	+	+	–	–	+	abe
14	+	–	+	–	–	+	be
15	+	+	–	–	–	+	ae
16	+	–	–	–	–	+	e
17	+	+	+	+	+	–	abcd
18	+	–	+	+	+	–	bcd
19	+	+	–	+	+	–	acd
20	+	–	–	+	+	–	cd
21	+	+	+	–	+	–	abd
22	+	–	+	–	+	–	bd
23	+	+	–	–	+	–	ad
24	+	–	–	–	+	–	d
25	+	+	+	+	–	–	abc
26	+	–	+	+	–	–	bc
27	+	+	–	+	–	–	ac
28	+	–	–	+	–	–	c
29	+	+	+	–	–	–	ab
30	+	–	+	–	–	–	b
31	+	+	–	–	–	–	a
32	+	–	–	–	–	–	(1)