4.2 Оптимизация геометрии режущего инструмента на основе метода крутого восхождения по поверхности отклика.

При поиске оптимальных условий протекания различных процессов обработки материалов резанием может быть с успехом использован метод крутого восхождения. Этот метод позволяет резко сократить число опытов, получить количественные оценки влияния отдельных факторов и их взаимодействий на изучаемый параметр, установить оптимальные значения параметров процесса или оптимальные значения параметров инструмента. Так, например, требуется установить влияние заднего угла , переднего угла , главного угла в плане , вспомогательного угла в плане , радиуса при вершине r на стойкость Т токарного резца и определить значения этих геометрических параметров, обеспечивающие, максимальную стойкость резца при обработке аустенитной стали на заданном режиме. На основании априорной информации были выбраны основные уровни и интервалы варьирования факторов (табл. 4.4).

Таблица 4.4

Уровни и интервалы варьирования факторов

Факторы, град	Кодовое обозначение	Интервалы варьирования	Уровни факторов
			верхний + 1	основной 0	нижний –1
– передний угол	x1	2	–3	–5	–7
– задний угол	x2	2	14	12	10
– вспомогательный угол в плане	x3	4	20	16	12
– главный угол в плане	x4	10	45	35	25
r – радиус при вер- шине, мм	x5	0,5	1,5	1.0	0,5

Таблица 4.5

Матрица планирования и результаты опытов

Номер опыта	x0	x1	x2	x3	x4	x5	Y(T), мин
1	+	–	–	–	+	–	34,7
2	+	+	–	–	–	+	29,8
3	+	–	+	–	–	+	42,5
4	+	+	+	–	+	–	39,2
5	+	–	–	+	+	+	35,5
6	+	+	–	+	–	–	16,7
7	+	–	+	+	–	–	31,0
8	+	+	+	+	+	+	39,6

Приняв в качестве параметра оптимизации период стойкости Т резца и обозначив его через у, использовали для крутого восхождения линейную модель

.

На первом этапе исследования в качестве плана эксперимента приняли 1/4-реплику (2^5-2) от полного факторного эксперимента 2⁵.Реплика задана генерирующими соотношениями x₄=x₁x₂; x₅=x₁x₂x₃. Матрица планирования и результаты опытов приведены в табл. 4.5.

Значения коэффициентов находили по формуле

,

где

x_ij – кодированное значение (±1)

i-гo фактора в j-м опыте;

y_i – значение параметра оптимизации в j -м опыте;

N – число опытов в матрице планирования.

Например:

;

и т.д.

Для остальных коэффициентов получили следующие значения: b₂=4,45; b₃ = –2,925; b₄ = 3,625; b₅=3,225.

Дисперсию параметра оптимизации вычисляли по результатам четырех опытов в центре плана, т. е. при x₁=x₂=x₃=x₄=x₅=0.

Расчет дисперсии приведен в табл. (4.6).

Дисперсии коэффициентов регрессии

.

Доверительный интервал коэффициентов

.

где,

t – табличное значение критерия Стьюдента, равное 3,18 при 5%-ном уровне значимости и числе степеней свободы f=3.

Примечание. n₀ – число опытов в центре плана;

y_u – значение параметра оптимизации в u-м опыте в центре плана.

Так как абсолютные величины коэффициентов регрессии больше доверительного интервала, то все они являются статистически значимыми.

Уравнение регрессии с кодированными переменными имеет вид

. (4.8)

Таблица 4.6

Вспомогательная таблица расчета

Номер опыта в центре плана	yu
1	33,1		–0,5	0,25
2	33,5		–0,1	0,01
3	34,0		0,4	0,15
4	33,8		0,2	0,04

Примечание. n₀ – число опытов в центре плана; y_u – значение параметра оптимизации в u-м опыте в центре плана. Так как абсолютные величины коэффициентов регрессии больше доверительного интервала, то все они являются статистически значимыми.

Уравнение регрессии с кодированными переменными имеет вид

. (4.9)

Для проверки гипотезы адекватности модели, представленной уравнением (4.9) находим дисперсию адекватности

(4.10)

где,

– экспериментальное значение параметра оптимизации в j-м опыте; – значение параметра оптимизации в j-м опыте, вычисленное по уравнению (4.9);

f – число степеней свободы, f=N–(k+1)

k – число факторов, равное 5.

Для вычисления суммы, входящей в выражение (4.10), составляем вспомогательную таблицу (табл.4.7). При вычислении значений в уравнение (4.9) необходимо подставлять кодированные значения факторов. Например, в первом опыте кодированные значения факторов .Следовательно, .

Подставляя полученное значение суммы (см. табл. 4.7) в выражение (4.2) находим

Таблица 4.7

Вспомогательная таблица расчета

Номер опыта	yj				Номер опыта	yj
1	34,7	34,8	–0,1	0,01	6	16,7	17,1	–0,4	0,16
2	29,8	29,4	0,4	0,16	7	31,0	30,6	0,4	0,16
3	42,5	42,9	–0,4	0,16	8	39,6	39,7	–0,1	0,01
4	39,2	39,1	0,1	0,01
5	35,5	35,4	0,1	0,01

.

Дисперсию адекватности можно также определить по выражению

.

Дисперсия (см. табл. 4.8). Проверку гипотезы адекватности модели производили по F – критерию Фишера. Для этого находили расчетное значение критерия

.

При 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя f₁=2 и для знаменателя f₂=3 табличное значение критерия F_T = 9,55. Так как F_P<F_T, то модель, представленная уравнением (4.9) адекватна.

Убедившись в адекватности уравнения (4.9) переходим к крутому восхождению. Крутое восхождение начинаем из центра плана, т. е. из точки с координатами ,что соответствует мм. Шаг движения по градиенту для радиуса r принимаем равным Δ₅=0,3. Для остальных факторов шаг движения Δ_i вычисляем по формуле

,

где Δ_l – принятый шаг движения по градиенту для l-го фактора; ε_i, ε_l – интервалы варьирования i-гo и l-го факторов. Например, для первого фактора у шаг движения по градиенту

,

или округленно . Шаг движения по градиенту для остальных факторов указан в (табл. 4.8).

Таблица 4.8

Расчет крутого восхождения в область оптимума

Наименование
Основной уровень	–5	12	16	35	1.0	–
Коэффициент	–2,3	4,45	–2,925	3,625	3,225	–
Интервал варьирования	2	2	4	10	0,5	–
	–4,6	8,9	–11,7	36,25	1,6125	–
Шаг движения по градиенту	–0,86	1,66	–2,18	6,74	0,3	–
Округленный шаг	–1	2	–2	7	0,3	–
Опыт 9 мысленный	–6	14	14	42	1,3	–
Опыт 10 реализованный	–7	16	12	49	1,6	45,0
Опыт 11 реализованный	–8	18	10	56	1,9	52,9
Опыт 12 реализованный	–9	20	8	63	2,2	50,3

Вычислив шаг движения по градиенту для каждого фактора, приступаем к расчету опытов в направлении градиента. Для расчета условий первого опыта к основному уровню каждого из факторов необходимо прибавить соответствующее значение шага движения по градиенту. Для определения условий каждого последующего опыта к значению каждого из факторов в предыдущем опыте необходимо прибавить соответствующее значение шага. Например, в первом опыте в направлении градиента (опыт 9, табл. 4.8) значения факторов должны быть следующими:

Опыты 10, 11 и 12 реализованы. В опыте 11 получена максимальная стойкость резца T=52,9 мин. После определения условий наилучшего опыта можно закончить исследование, если полученное значение параметра оптимизации устраивает исследователя. Если есть основания считать, что область оптимума не достигнута, то необходимо, приняв условия наилучшего опыта за центр плана, провести новую серию опытов, вычислить коэффициенты линейной модели и вновь произвести крутое восхождение. При решении данной задачи оптимальная геометрия токарного резца