3.4. Исследование области оптимума, представленной полиномом второй степени

В результате выполнения плана второго порядка исследователь получает полином второй степени, адекватно описывающий область оптимума:

. (3.19)

Уравнение второй степени в таком виде анализировать сложно, поэтому путем преобразований его приводят к канонической форме. Каноническое преобразование уравнения второй степени заключается в выборе новой системы координат, в которой уравнение принимает более простой вид. Новую систему координат получают путем параллельного переноса старой системы в новое начало и поворота координатных осей относительно этого начала. В результате канонического преобразования уравнение (3.19) приводится к стандартному каноническому уравнению

, (3.20)

где Y – значение параметра оптимизации; Ys – значение параметра оптимизации в новом начале координат; Х₁, Х₂, ..., Х_k – канонические переменные, являющиеся линейными функциями факторов; B₁, B₂, ..., B_k – коэффициенты уравнения регрессии в канонической форме.

Первым этапом канонического преобразования является перенос начала координат в особую точку – центр поверхности отклика. Для определения координат этой точки исходное уравнение (3.19) дифференцируют по каждой независимой переменной. Приравнивая частные производные нулю, получают систему уравнений

; ; …; . (3.20)

При аппроксимации функции отклика полиномом второй степе­ни и дифференцировании его по каждой независимой переменной получают систему k линейных уравнений. Если определитель этой системы уравнений равен нулю, то поверхность отклика не имеет центра. В этом случае начало координат не переносят или переносят в точку с наилучшим значением параметра оптимизации.

Если поверхность имеет центр, т. е. определитель системы отличен от нуля, тогда начало координат переносят в центр. Решая указанную выше систему уравнений, находят координаты центра s поверхности в старой системе координат. При параллельном переносе системы координат в центр s поверхности в исходном уравнении исчезают члены, содержащие линейные эффекты, и изменяется свободный член. Коэффициенты при вторых степенях и взаимодействиях инвариантны относительно переноса. Подставляя найденные значения координат центра s в исходное уравнение, определяют значение параметра оптимизации Y_s в центре (в начале новой системы координат).

После параллельного переноса координатных осей исходное уравнение (3.19) принимает вид

, (3.21)

где Y_s – значение параметра оптимизации в новом начале координат; , – новые координаты.

Вторым этапом канонического преобразования является поворот координатных осей в новом начале координат до совмещения их с главными осями геометрической поверхности, соответствующей изучаемой функции отклика. При повороте координатных осей исчезают члены с эффектами взаимодействия и изменяются коэффициенты при вторых степенях. Свободный член инвариантен относительно поворота координатных осей. В результате поворота осей получают уравнение

.

Для определения коэффициентов B₁, B₂, ..., B_kk необходимо решить характеристическое уравнение

. (3.22)

Корни этого уравнения и будут искомыми коэффициентами регрессии В_ii.

Для пояснения изложенного материала рассмотрим следующий пример. Необходимо привести к канонической форме уравнение, полученное в результате реализации плана второго порядка,

(3.23)

Дифференцируем уравнение по независимым переменным и приравниваем частные производные нулю:

; .

Вычисляем определитель системы

.

Определитель не равен нулю, следовательно, исследуемая поверхность имеет центр.

Находим координаты x_1s и x_2s центра s:

; .

Подставляя x_1s и x_2s в уравнение (3.23), находим значение параметра оптимизации Y_s в новом начале координат:

.

После параллельного переноса координатных осей уравнение примет вид

.

Для определения коэффициентов B₁₁, B₂₂ решаем следующее характеристическое уравнение:

.

Подставляя значения b₁₁, b₁₂, b₂₂ получим

.

Решая это квадратное уравнение, находим его корни:

; .

Правильность вычислений можно проверить сравнением сумм коэффициентов при квадратичных членах в исходном и каноническом уравнениях. При правильно выполненных вычислениях суммы коэффициентов должны быть равны, т. е.

.

Таким образом, уравнение (3.23) в канонической форме имеет вид

.

Уравнение в канонической форме удобно для анализа и оптимизации, так как в него входят все факторы только в квадрате. Величина Y – Y_s зависит от знаков коэффициентов В_ii и не зависит от направления движения из центра по оси Х_i.

Если все коэффициенты В_ii отличны от нуля и центр поверхности лежит в области эксперимента, то возможны следующие случаи 1) все коэффициенты В_ii<0, тогда движение в любую сторону от центра уменьшает параметр оптимизации; 2) все коэффициенты В_ii>0, тогда движение в любую сторону от центра увеличивает параметр оптимизации; 3) часть коэффициентов В_ii<0, а часть коэффициентов В_ii>0; в этом случае для увеличения параметра оптимизации следует двигаться от центра так, чтобы значения X_i для коэффициентов В_ii<0 равнялись нулю, т. е. искать максимум вдоль осей с В_ii>0; наоборот, для уменьшения параметра оптимизации следует двигаться только вдоль осей с В_ii<0.

При k≤3 после канонического преобразования уравнения регрессии легко определить, к какому типу относится геометрический образ изучаемой функции отклика.

При k = 2 геометрический образ изучаемой функции можно представить в виде контурных линий (изолиний). Возможны четыре типа контурных линий (рис.3.3). Каждая линия представляет собой проекцию сечения поверхности отклика плоскостью, параллельной плоскости чертежа при значениях параметра оптимизации, равных Y₁, Y₂, Y₃, Y₄. Такие линии называют линиями равного отклика, так как каждая линия соответствует определенному значению параметра оптимизации.

Эллипсы (рис.3.3 а) соответствуют поверхности отклика, имеющей экстремум в центре s. Коэффициенты В₁₁ и В₂₂ имеют одинаковые знаки. Если коэффициенты отрицательны, то центр фигуры является максимумом, если коэффициенты положительны – минимумом.

Рис. 3.3 Контурные кривые, характеризующие область оптимума, описываемую уравнением второго порядка при k = 2.

Эллипс вытянут по той оси, которой соответствует меньший по абсолютной величине коэффициент в каноническом уравнении.

Гиперболы (рис.3.3 б) соответствуют поверхности отклика типа минимакса. Коэффициенты В₁₁ и В₂₂ имеют разные знаки.

Параметр оптимизации увеличивается при движении из центра фигуры по одной оси и уменьшается при движении по другой оси. Исследователь выбирает направление движения в зависимости от того, что его интересует – максимум или минимум. Здесь, как и при крутом восхождении, намечается серия мысленных опытов, часть из которых реализуется.

Параллельные линии (рис.3.3 в) соответствуют поверхности отклика, представляющей собой стационарное возвышение. Коэффициент В₂₂ равен нулю. Под определение центра в этом случае подходит любая точка на оси Х₂.

Параболы (рис.3.3 г) соответствуют поверхности отклика типа возрастающего возвышения. При коэффициенте В₂₂, равном нулю, центр фигуры находится в бесконечности. Начало координат помещают в точку С вблизи центра эксперимента на оси Х₂ и получают уравнение параболы

,

где В₂ – коэффициент, определяющий крутизну возвышения, т. е. скорость увеличения параметра оптимизации по оси Х₂.

Аналогично можно анализировать поверхности отклика, описываемые уравнениями второго порядка, при числе факторов k = 3. Рассмотрим некоторые контурные поверхности, характеризующие область оптимума. Область оптимума характеризуется эллипсоидом вращения (рис.3.4 а) и имеет экстремум в центре эллипсоида, если все коэффициенты В_ii канонического уравнения имеют одинаковые знаки. Если два коэффициента имеют одинаковые знаки, а третий близок к нулю, то область оптимума может характеризоваться эллиптическим цилиндром (рис.3.4 б). В этом случае ось цилиндра, соответствующая незначимому коэффициенту, является линией максимума. При близости к нулю одного коэффициента канонического уравнения область оптимума может также характеризоваться эллиптическим параболоидом (рис.3.4 д), при этом центр фигуры находится в бесконечности. Если знак одного из коэффициентов канонического уравнения противоположен знакам двух других, то область оптимума характеризуется одно- или двуполостным гиперболоидом (рис.3.4 г, в). В случае, когда два коэффициента канонического уравнения близки к нулю, область оптимума может характеризоваться серией параллельных плоскостей (рис.3.4 е), одна из которых соответствует наибольшей величине параметра оптимизации.

Рис. 3.4. Некоторые трехмерные контурные поверхности, характеризующие область оптимума, описываемую уравнением второго порядка при числе факторов k = 3:

а – эллипсоид вращения; б – эллиптический цилиндр; в – двуполостный гиперболоид; г – однополостный гиперболоид; д – эллиптический параболоид; е –параллельные плоскости одна, из которых соответствует наибольшей величине параметра оптимизации.

При k > 3 наглядное представление о геометрическом образе функции отклика становится невозможным из-за отсутствия у человека геометрической интуиции в многомерных пространствах.

Все многообразие поверхностей отклика, описываемых уравнениями второго порядка, можно проиллюстрировать поверхностями трех следующих типов: 1) поверхности, имеющие экстремум-максимум или минимум (см. рис. 3.3а, 3.4а); в этом случае все коэффициенты канонического уравнения имеют одинаковые знаки; центр фигуры находится вблизи центра эксперимента; 2) поверхности типа минимакса (см. рис.3.3 б; рис.3.4 г); коэффициенты канонического уравнения имеют разные знаки; центр фигуры находится вблизи центра эксперимента; 3) поверхности типа возрастающего возвышения, или гребня (см. рис.3.3 в, г; рис.3.4 д, е); некоторые коэффициенты канонического уравнения близки к нулю; центр фигуры удален от центра эксперимента.

Если поверхность отклика иллюстрируется поверхностями первого типа, то решение экстремальной задачи заканчивают после приведения уравнения к канонической форме. Исследователю остается только провести несколько опытов в центре фигуры и убедиться в том, что экспериментальные данные хорошо совпадают со значениями, предсказанными уравнением регрессии. Ситуация значительно сложнее, если поверхность принадлежит второму или третьему типу. В этих случаях приходится искать условный экстремум в той части факторного пространства, где проводились эксперименты, либо искать его при некоторой разумной экстраполяции. Если поверхность является минимаксом, то в поисках условного максимума двигаются из центра фигуры в прямом или обратном направлениях координатных осей, для которых канонические коэффициенты положительны. В случае нелинейного возрастающего возвышения условный экстремум при ограничениях, наложенных сферой радиуса можно искать, пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа. Можно также находить условный экстремум перебором всех комбинаций независимых переменных, варьируя их определенным образом. Решить эту задачу можно только с помощью ЭВМ, так как при каждой комбинации значений независимых переменных необходимо вычислять значение параметра оптимизации.

Поиск оптимальных условий исследуемого процесса при небольшом числе k влияющих факторов можно упростить, анализируя поверхность отклика в области оптимума графоаналитическим методом с помощью двумерных сечений. Исходное уравнение регрессии в этом случае сводят к уравнению с двумя факторами, стабилизируя остальные на постоянных уровнях. Этим способом можно получить представление о влиянии каждой пары факторов на параметр оптимизаций.