3.3 Ротатабельное планирование

Критерий ортогональности не является достаточно сильным критерием оптимизации центрального композиционного плана второго порядка.

Информация о поверхности отклика, полученная при ортогональном планировании второго порядка, различна в разных направлениях. В то же время исследователь, начиная эксперимент, чаще всего не знает, какое направление будет представлять преимущественный интерес.

В тех случаях, когда нет достоверной информации об ориентации поверхности отклика, наиболее разумным является использование центральных композиционных планов, отвечающих требованию рототабельности, т. е. планов, позволяющих получать модель, способную предсказывать значение параметра оптимизации с одинаковой точностью независимо от направления на равных расстояниях от центра плана.

Ротатабельность центрального композиционного плана достигается выбором величины «звездного» плеча . Величину звездного плеча для «ядра», содержащего полный факторный эксперимент, определяют из соотношения

, (3.6)

а для «ядра», содержащего дробную реплику,

. (3.7)

Для ротатабельного планирования второго порядка важное значение имеет выбор числа опытов в центре плана, так как число опытов в центре плана определяет характер распределения получаемой информации о поверхности отклика.

Число опытов в центре плана выбирается таким, чтобы обеспечивалось так называемое униформ-планирование.

Планирование называется униформ-ротатабельным, если получаемая информация постоянно остается внутри интервала , где – радиус информационного контура.

Униформ-ротатабельное планирование возможно, если некоторая константа не превышает единицы (немного меньше ее):

, (3.8)

где

n₀ – число опытов в центре плана(число нулевых точек);

;

N – общее число опытов;

k – число факторов.

Все данные, необходимые для построения матриц центрального композиционного ротатабельного планирования второго порядка при числе факторов от двух до семи, табулированы (таблица 3.6).

Матрица ротатабельного униформ - планирования второго порядка для k = 2 приведена в табл. 3.7.

Матрицы ротатабельного планирования второго порядка не ортогональны, поэтому объем вычислительной работы при определении коэффициентов регрессии довольно велик.

Таблица 3.6

Данные для построения матриц центрального композиционного ротатабельного

планирования второго порядка

Число факторов k	«Ядро» плана	Число точек «ядра» nя	Число «звездных» точек	Число нулевых точек	Величина «звездного» плеча	Общее число опытов N
2		4	4	5	1,414	13
3		8	6	6	1,682	20
4		16	8	7	2,000	31
5		32	10	10	2,378	52
5		16	10	б	2,000	32
6		64	12	15	2,828	91
6		32	12	9	2,378	53
7		128	14	21	3,363	163
7		64	14	14	2,828	92

Вычисление коэффициентов регрессии рекомендуется проводить с помощью электронных вычислительных машин, используя метод наименьших квадратов.

Коэффициенты уравнения регрессии определяют по формулам:

; (3.9)

; (3.10)

; (3.11)

. (3.12)

Таблица 3.7

Матрица ротатабельного униформ - планирования для k = 2

№ Опыта	xх0	x1	x2	х1 х2			y	№ Опыта	x0	x1	x2	х1 х2			y
1	+	+	+	+	+	+	y1	8	+	0	–1,414	0	0	2	y8
2	+	–	+	–	+	+	y2	9	+	0	0	0	0	0	y9
3	+	+	–	–	+	+	y3	10	+	0	0	0	0	0	y10
4	+	–	–	+	+	+	y4	11	+	0	0	0	0	0	y11
5	+	+1,414	0	0	2	0	y5	12	+	0	0	0	0	0	y12
6	+	–1,414	0	0	2	0	y6	13	+	0	0	0	0	0	y13
7	+	0	+1.414	0	0	2	y7

где

; .

Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии находят по формулам

; (3.13)

; (3.14)

; (3.15)

. (3.16)

Вычислив коэффициенты уравнения регрессии, определяют их доверительные интервалы. После этого, исключив из уравнения статистически незначимые коэффициенты, получают математическую модель. Адекватность полученной модели проверяют с помощью расчетного критерия Фишера

.

Дисперсию параметра оптимизации определяют по результатам опытов в центре плана:

,

где п₀ – число параллельных опытов в центре плана; у_и – значение параметра оптимизации в и-м опыте; – среднее арифметическое значение параметра оптимизации в п₀ опытах; и – номер параллельного опыта в центре плана.

Для определения вычисляют сумму s_R квадратов отклонений расчетных значений функции отклика от экспериментальных :

.

Из полученной суммы s_R вычитают сумму s_E, использованную для определения дисперсии параметра оптимизации по результатам опытов в центре плана:

. (3.17)

Полученный результат (s_R – s_E) делят на число степеней свободы , где к' – число статистически значимых коэффициентов регрессии. Таким образом,

. (3.18)

Если F_P<F_T (при выбранном уровне значимости), то гипотеза адекватности модели принимается. Если гипотеза адекватности модели не принимается, то применяют планирование третьего порядка или повторяют все опыты, сузив интервалы варьирования или изменив основные уровни факторов.