3.2. Ортогональные планы
Преимущество ортогональных планов состоит в малом объеме вычислений, тан как все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга.
В ортогональных планах сумма построчных произведений элементов двух любых столбцов матрицы планирования равна нулю.
В матрице центрального композиционного плана не все столбцы ортогональны, так как
(3.2)
(3.3)
x0
всегда равно +1, а
.
Рис. 3.2 Схема центрального композиционного плана второго порядка для трех факторов.
Например, матрица, представленная в табл 3.1, не ортогональна, ибо
Для
ортогонализации соотношения (3.2)
необходимо преобразовать столбцы
матрицы, заменив
новой
переменной
.
Новую
переменную
находят по выражению
.
(3.3)
После
замены
на
будут
равны нулю суммы построчных произведений
столбцов:
.
(3.4)
Так, например, в матрице центрального композиционного плана для двух факторов (табл. 3.1) получаем новые переменные
.
(3.5)
Тогда
.
Аналогично
.
Ортогонализация соотношения (3.3) достигается выбором «звездного» плеча . Значения «звездного» плеча, вычисленные для различного числа факторов, приведены в табл. 3.3.
Если ортогональность принять за достаточный критерий оптимальности плана эксперимента, то на число опытов в центре плана не накладывается какого-либо ограничения, и обычно n0 = 1.
Таблица 3.3
Величина «звездного» плеча
Число независимых переменных |
Ядро плана |
Число дополнительных опытов |
Величина плеча |
2 |
22 |
5 |
1,000 |
3 |
23 |
7 |
1,215 |
4 |
24 |
9 |
1,414 |
5 |
25-1 |
11 |
1,547 |
Подставляя
=1
в соотношения (3.5), находим новые переменные
и
Тогда ортогональный центральный композиционный план второго порядка для двух факторов может быть представлен матрицей (табл. 3.4)
При трех факторах = 1,215.
Используя
соотношение (3.3) и матрицу
плана второго порядка для трех факторов
(табл3.2)
находим
новые переменные
Аналогично
.
Таблица 3.4
Ортогональный центральный композиционный план второго порядка для двух факторов
Содержание плана |
Номер операции |
x0 |
x1 |
x2 |
x1 x2 |
x12-2/3 |
x22-2/3 |
y |
План типа 22 |
1 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ 1/3 |
+ 1/3 |
y1
|
2 |
+ |
– |
+ |
– |
+ 1/3 |
+ 1/3 |
y2
|
|
3 |
+ |
+ |
– |
– |
+ 1/3 |
+ 1/3 |
y3
|
|
4 |
+ |
– |
– |
+ |
+ 1/3 |
+ 1/3 |
y4
|
|
«Звездные» точки с плечом =1 |
5 |
+ |
+ |
0 |
0 |
+ 1/3 |
– 2/3 |
y5
|
6 |
+ |
– |
0 |
0 |
+ 1/3 |
– 2/3 |
y6
|
|
7 |
+ |
0 |
+ |
0 |
– 2/3 |
+ 1/3 |
y7
|
|
8 |
+ |
0 |
– |
0 |
– 2/3 |
+ 1/3 |
y8
|
|
Нулевая точка |
9 |
+ |
0 |
0 |
0 |
– 2/3 |
– 2/3 |
y9 |
Матрица ортогонального планирования для трех факторов представлена в таблице 3.5. Благодаря ортогональности матрицы планирования коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга по формуле
;
где i – номер столбца матрицы;
j – номер опыта;
xij – элементы соответствующего столбца матрицы;
yi – значение параметра оптимизации в i-м опыте.
Дисперсии коэффициентов регрессии определяются по формуле
.
Дисперсии
коэффициентов не равны, так как суммы
квадратов элементов столбцов матрицы
не
равны друг другу.
Реализация опытов по матрице планирования с квадратичной переменной позволяет построить модель вида:
Неизвестный коэффициент b0 находят по выражению
с дисперсией
.
Таблица 3.5
Матрица центрального композиционного плана второго порядка
для трех факторов
Содержание плана |
№ Опыта |
xх0 |
xх1 |
xх2 |
xх3 |
xх1 x2 |
xх1 x3 |
xх2 x3 |
x12-0,73 |
x22-0,73 |
x32-0,73 |
y |
План 2³
|
1 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
y1 |
2 |
+ |
– |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
y2 |
|
3 |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
– |
+ |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
y3 |
|
04 |
–+ |
– |
– |
+ |
+ |
– |
– |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
y4 |
|
05 |
–+ |
+ |
+ |
– |
+ |
– |
– |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
y5 |
|
06 |
–+ |
– |
+ |
– |
– |
+ |
– |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
y6 |
|
07 |
–+ |
+ |
– |
– |
– |
– |
+ |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
y7 |
|
8 |
+ |
– |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
+0,27 |
+0,27 |
+0,27 |
y8
|
|
Окончание таблицы 3.5 |
||||||||||||
«Звездные» точки с =1,215 |
09 |
–+ |
+1,215 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+0,746 |
– 0,73 |
– 0,73 |
y9 |
110 |
+ |
–1,215 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+0,746 |
– 0,73 |
– 0,73 |
y10 |
|
111 |
+ |
0 |
+1,215 |
0 |
0 |
0 |
0 |
– 0,73 |
+0,746 |
– 0,73 |
y11 |
|
112 |
+ |
0 |
–1,215 |
0 |
0 |
0 |
0 |
– 0,73 |
+0,746 |
– 0,73 |
y12 |
|
113 |
+ |
0 |
0 |
+1,215 |
0 |
0 |
0 |
– 0,73 |
– 0,73 |
+0,746 |
y13 |
|
114 |
+ |
0 |
0 |
–1,215 |
0 |
0 |
0 |
– 0,73 |
– 0,73 |
+0,746 |
y14 |
|
Нулевая точка |
115 |
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
– 0,73 |
– 0,73 |
– 0,73 |
y15 |
Проверка адекватности уравнения второго порядка, получаемого после центрального композиционного ортогонального планирования, производится так же, как и проверка адекватности линейной модели, полученной при реализации плана первого порядка.