2.2. Чисте дожиття

Чисте дожиття з терміном років забезпечує виплату застрахованої суми тільки у випадку, якщо застрахований живий наприкінці терміну років:

. (2.9)

Чиста одиночна премія позначається через і обчислюється

. (2.10)

Формула варіації для змінної, яка розподілена за законом Бернуллі, має вид

. (2.11)

2.3. Дожиття

Нехай застрахована сума виплачується наприкінці року смерті, якщо вона відбудеться протягом перших років, і наприкінці -го року в протилежному випадку:

. (2.12)

Чиста одиночна премія позначається через . Позначивши поточне значення з (2.6) через , а з (2.9) – через , маємо

. (2.13)

Як наслідок, отримаємо

(2.14)

і

. (2.15)

Добуток завжди дорівнює нулю, тому

. (2.16)

Отже, варіація дорівнює

. (2.17)

З останньої рівності випливає, що ризик при продажу контракту на дожиття, що вимірюється варіацією, менший ризику, який приймається страхувальником при продажі термінового контракту одній людині і контракту на чисте дожиття іншій.

До цього часу, для спрощення, ми припускали, що застрахована сума дорівнює 1. Якщо насправді вона дорівнює , тоді чиста одиночна премія може бути отримана множенням на , а варіація – множенням на .

Розглянемо на закінчення відкладене на років безтермінове страхування. Його поточне значення дорівнює

. (2.18)

Чиста одиночна премія позначається через . Інші представлення премії мають вид

, (2.19)

. (2.20)

Другий момент знову дорівнює чистій одиночній премії при подвоєній відсотковій ставці.

3. Виплати в момент смерті

До цього часу припускалось, що застрахована сума виплачується наприкінці року смерті. Це припущення не відображає практику страхування, але має ту перевагу, що формули можуть бути отримані безпосередньо за таблицею смертності.

Припустимо тепер, що застрахована сума виплачується в момент смерті . Поточне значення виплати 1 відразу в момент смерті обчислюється

(3.1)

Чиста одиночна премія позначається . З використанням формули (2.2) теми 2 ми знаходимо, що

. (3.2)

Корисну апроксимацію можна отримати, використовуючи ситуацію А розділу 6 теми 2. Записавши

, (3.3)

і вважаючи і незалежними випадковими змінними, а змінну рівномірно розподіленою, з рівності

(3.4)

отримуємо

. (3.5)

Таким чином, обчислення зводиться до обчислення .

Подібні формули можна отримати для термінового страхування. Для страхування на дожиття множник використовується тільки в доданку, який відповідає терміновому страхуванню:

. (3.6)

На кінець, припускаючи, що застрахована сума виплачується наприкінці -ої частини року смерті, тобто в момент в позначеннях розділу 4 теми 2. Поточне значення безтермінового страхування одиничної суми обчислюється

. (3.7)

При підрахунку чистої одиночної премії ми знову використовуємо ситуацію А розділу 6 теми 2. Ми записуємо

(3.8)

в рівності (3.7) і, припускаючи незалежність і , маємо

. (3.9)

Звідси остаточно

. (3.10)

Рівність (3.5) може бути отримана з (3.10) граничним переходом .