5. Резерв чистої премії

Припустимо, що виплати за загальним контрактом страхування розділу 4 забезпечуються річними преміями . Резерв чистої премії наприкінці року дорівнює

. (5.1)

Рекурентне рівняння

(5.2)

є узагальненням рівності (3.4) теми 6. Його можна записати таким чином

. (5.3)

Отже, премія знову може бути розділена на дві компоненти, премію збережень

(5.4)

для збільшення резерву чистої премії та премію ризику

(5.5)

для страхування чистої величини ризику на один рік.

Загальні втрати страхової компанії

(5.6)

також можуть бути розділені на

, (5.7)

де

(5.8)

є втрати застрахованого протягом року , підраховані на момент . Теорема Хаттендорфа (рівняння (7.4)-(7.7) теми 6) залишається справедливою. Варіацію зручно обчислити за формулою

, (5.9)

де доданки визначаються тепер як

. (5.10)

(довести самостійно).

Операції протягом року можна розглядати як комбінацію, с однієї сторони, чистих збережень (накопичень), і з іншої – однорічного страхування. Останнє можна розділити на елементарних контрактів, по одному на кожен випадок декремента. Ми можемо інтерпретувати компоненту премії

(5.11)

як оплату за однорічний контракт страхування суми , який покриває ризик декремента з причини . Втрати застрахованого протягом року можуть бути розділені відповідно

, (5.12)

якщо визначити

(5.13)

Технічний прибуток наприкінці року

(5.14)

також можна розділити на компонент. Наприклад, метод поділу 1 (розділ 9 теми 6) веде до

. (5.15)

6. Неперервна модель

Модель розділу 11 теми 6 може бути узагальнена на випадок кратного декремента. Припустимо, що застрахована сума визначена рівністю (4.3) і що премії виплачуються неперервно, з інтенсивністю в момент . Загальні втрати застрахованого в цьому випадку будуть

. (6.1)

Резерв чистої премії в момент складає

. (6.2)

інтенсивність платежів може бути розділена на компоненту збережень (див. (11.2) теми 6), і ризикову компоненту

. (6.3)

Диференціальне рівняння Тіле (11.4) теми 6 залишається справедливим.

Технічний прибуток, отриманий зі страхової компоненти на нескінченно малому інтервалі від до , позначимо через . Очевидно,

(6.4)

Як наслідок, отримаємо

(6.5)

і

. (6.6)

Звідси

. (6.7)

Зауважимо, що цей результат простіший, ніж його дискретний аналог, див. (5.9) і (5.10).

7. Глосарій

Причина декремента	Cause of decrement
Сила декремента	Force of decrement
Загальна сила декремента	Aggregate force of decrement