12. Глосарій

Резерв чистої премії	Net premium reserve
Чиста ризикова величина	Net amount at risk
Премія збережень	Savings premium
Ризикова премія	Risk premium
Чисте збереження	Pure savings
Контракт чистого дожиття	Pure endowment
Премія ризику виживання	Survival risk premium
Чиста річна премія	Net annual premium
Формула різниці премій	Premium difference formula
Середнє зважене	Weighted average
Теорема Хаттендорфа	Hattendorff's theorem
Універсальний (гнучкий) контракт страхування життя	Universal (flexible) life insurance policy
Технічний прибуток	Technical gain
Прибуток інвестицій	Investment gain
Прибуток смертності	Mortality gain
Диференціальне рівняння Тіле	Thiele's differential equation
Сила процента	Force of interest

Т ема 7 Декременти

План лекції

1. Модель

2. Сила декременту

3. Вкорочений час життя

4. Загальна форма контракту страхування

5. Резерв чистої премії

6. Неперервна модель

7. Глосарій

1. Модель Узагальнимо модель, яка введена в темі 2.

Припустимо, що особа знаходиться в певному стані (статусі) у віці . Людина покидає цей статус в момент з однієї з попарно виключених причин (вони пронумеровані від 1 до ). Ми будемо вивчати пару випадкових величин: час майбутнього життя в певному статусі і причину декремента .

В класичній ситуації, при страхуванні непрацездатності, початковий статус є "Активний" і можливі причини декремента – це "Непрацездатність" і "Смерть".

При іншому підході - час життя, що залишився, для ( ), є з розділенням двох причин декремента, а саме смерть через "Нещасний випадок" і з "Іншої причини". Ця модель підходить для страхування з подвійною сумою страхування у випадку випадкової смерті.

Спільний розподіл імовірності для і можна записати в термінах функцій щільності таких, що

(1.1)

є ймовірність декремента з причини протягом нескінченно малого інтервалу часу ( ). Очевидно,

. (1.2)

Якщо декремент виникає в момент , умовна ймовірність того, що причиною декремента є дорівнює

. (1.3)

Введемо символ

(1.4)

або більш загально

. (1.5)

Остання ймовірність обчислюється за формулою

. (1.6)

2. Сила декремента

Для життя ( ) сила декремента в віці з причини визначається

. (2.1)

Тоді загальна сила декремента

, (2.2)

див. (1.2) і визначення (2.1) теми 2.

Рівняння (1.1) можна записати так

. (2.3)

Більше того,

. (2.4)

Якщо всі сили смертності відомі, спільний розподіл для і можна визначити, спочатку використовуючи формулу (2.2) цього розділу і співвідношення (2.6) теми 2 для знаходження і потім знайшовши з (2.1).