8. Виплати для дробового віку
Початковий
вік
в загальному випадку не є цілочисельним,
якщо не округлюється. Ми розглянемо
обчислення
для цілих
і
.
Почнемо з тотожності
,
(8.1)
яке при ситуації А розділу 6 теми 2 набуває вигляду
.
(8.2)
Помноживши на і сумуючи по , отримаємо
.
(8.3)
Замінивши
на
,
отримаємо
.
(8.4)
За допомогою (6.1) можна переписати цей вираз у вигляді
.
(8.5)
Це
означає, що
є середнє зважене величин
і
.
На практиці часто наближується лінійним інтерполюванням
.
(8.6)
Ця
апроксимація є особливо доброю для
малих значень
,
що видно безпосередньо з (8.5).
Якщо застосувати лінійну інтерполяцію для більш частіших, ніж річні, аннуітетів
,
(8.7)
то з (3.5) отримується апроксимація
.
(8.8)
Аналогічні співвідношення можуть бути отримані для чистої одиночної премії страхування всього життя, яке починається з дробового віку. Наприклад, наступне співвідношення безпосередньо випливає з (8.5)
.
(8.9)
Т
ема
5. Чисті премії (Нетто-премії)
План
Поняття про збитки
Розрахунок збитків
Випадок простих видів страхування
Премії, які виплачуються разів на рік
Загальна форма страхування життя
Контракти з поверненням премії
Випадкова відсоткова ставка
Глосарій
1. Поняття про збитки
Контракт страхування, з однієї сторони, визначає виплати застрахованому (виплати можуть складатися з одного платежу або декількох, див. теми 3,4), з іншої сторони – премії, які виплачуються страхувальником. Три види премій повинні відрізнятися:
Одна одиночна премія
Періодичні премії постійного розміру (постійні премії)
Періодичні премії змінного розміру
Для періодичних премій в доповнення до розміру повинні бути визначені тривалість і частота преміальних платежів. Частіше всього премії виплачуються на початку періоду.
Визначимо
загальний збиток
страхувальника по контракту страхування
як різниця між поточним значенням виплат
і поточним значенням преміальних
платежів. Цей збиток потрібно розуміти
в алгебраїчному сенсі: допустимий вибір
премії повинен приводити до інтервалу
значень випадкової величини
,
який включає як додатні, так і від’ємні
значення.
Премія називається чистою премією, якщо вона задовольняє принципу еквівалентності
,
(1.1)
тобто якщо очікуване значення збитку дорівнює нулю. Якщо контракт страхування виплачується одиночною премією, то чиста одиночна премія, визначена в темах 3 і 4, задовольняє умові (1.1). Якщо виплачується періодична премія постійного розміру, рівняння (1.1) визначає чисту премію однозначно. Очевидно, для третього виду премій одного рівняння (1.1) недостатньо для визначення чистої премії.