Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности является гидравлической интерпретацией закона сохранения материи.

Введем понятие о расходе жидкости, которым называется количество жидкости, протекающей в единицу времени через данное живое сечение потока.

Различают массовый и объемный расход жидкости.

Массовый расход - это масса жидкости, протекающая в единицу времени:

q_m = m/t кг/с.

Объемный расход - объем жидкости, протекающий в единицу времени:

q_v = V/t м³/с

Так как m = V, то q_m = q_v.

Скорость в разных точках живого сечения потока различны по величине, поэтому вводят понятие о средней скорости потока.

Средняя скорость потока - это такая фиктивная, постоянная по всему живому сечению, скорость, при которой через него протекает такой же объемный расход жидкости, как и при реальном распределении скоростей. Средняя скорость равна:

V = q_v/F м/с, следовательно q_v = VF.

Таким образом, объемный расход несжимаемой жидкости равен произведению средней скорости на площадь живого сечения потока. Согласно закону сохранения массы, количество жидкости, втекающее в сечение 1-1 потока, будет равно количеству жидкости, вытекающему через сечение 2-2, и является величиной постоянной, что можно записать в виде:

q_m =ρ₁q_v1 = ρ₂ q_v2 или

q_m =ρ1U₁F₁ = ρ₂U₂F₂ = const

1 2

F₁ 2

F₂

1

Это уравнение называется уравнением неразрывности сжимаемой жидкости. Если жидкость несжимаема и =const, то уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид: qv = V₁F₁ = V₂F₂ = const (2).

Объемный расход несжимаемой жидкости есть величина постоянная и равна произведению средней скорости потока на площадь его живого сечения. Из уравнения (2) следует, что V₁/V₂ = F₂/F₁, т.е. средние скорости обратно пропорциональны отношению площадей живых сечений потока жидкости.

Уравнение удельной энергии идеальной жидкости и вязкой (реальной) жидкости. (Уравнение Бернулли)

-

F1

является гидравлической интерпретацией закона сохранения энергии.

Р1

1

F2

2

Z₁

Z₂

1

P2

U2

2

Удельной энергией е жидкости называется энергия, отнесенная к единице веса жидкости: е = Е/(mg),

где е - удельная энергия, mg - вес жидкости, Е -энергия.

Полная механическая энергия струйки идеальной жидкости равна сумме е _пот и е _кин.

В свою очередь е_пот = е_пол = е_дав.

Если масса жидкости m в элементарной струйке находится на какой-то высоте z плоскости сравнения 0-0, то Е_пол будет равна Е_пол = mgz, а

е_пол = Е_пол/mg = mgz/mg = Z.

Пусть масса жидкости m занимает объем V и находится под давлением Р_, тогда: Е_дав = V, а m = V, е_дав = V/ gV = / g;

Таким образом: е_пот = z + p/pg.

Кинетическая энергия движения идеальной жидкости:

е_кин = mV²/2, а e_кин = mV²/2mg = V²/2g;

Полная удельная энергия идеально движущейся жидкости:

Е = z + P/ g + V²/2g = const - согласно закону сохранения энергии.

Для двух сечений 1-1 и 2 -2 запишем:

Z₁+ P₁/ g + V₁ ²/2g = Z₂ + P₂/ g + V₂ ²/2g (1) - уравнение Бернулли

Каждый член имеет размерность в (м).

Z - геометрический напор (м);

P/ g - пьезометрический напор;

V²/2g - скоростной напор.

Определение: сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров есть величина постоянная для всех сечений потока жидкости и является полной удельной энергией идеальной жидкости.

При движении вязкой жидкости возникают силы внутреннего трения, вследствие которых часть энергии переходит в теплоту и рассеивается в потоке жидкости - это потерянный напор, т.е. е2 < е1 на величину hn. Уравнение баланса для 1-1 и 2-2 вязкой жидкости:

Z₁ + P₁/ g + V₁²/2g = Z₂ + P₂/ g + V₂³/2g + hn (2) уравнение Бернулли для реальной жидкости.