Теорема сложения вероятности

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Для трех совместных событий имеет место формула

Событие, противоположное событию А (т.е. не наступление события А), обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице:

Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается или .

Если А и В независимые события, то

Событие А,В,С,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

Теорема умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие (гипотезы) образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например , событие А может наступить с некоторой условной вероятностью Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

где

Формула называется формулой полной вероятности.

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятность гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса (формуле вероятности гипотез):

,

где вероятность каждой из гипотез после испытания, в результате которого наступило событие, А; условная вероятность события А после наступления события а находится по формуле полной вероятности

Повторение испытаний. Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимы относительно события А.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p(где 0 событие А наступит ровно k раз (безразлично, какой последовательности), находится по формуле Бернулли:

где

Тема 5.1 Основы теории вероятностей

1) Исследовательская работа. Решение задач

Упражнения

1. Найдите число размещений:

2. Вычислите:

3. 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

4. Сколькими способами из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности? 5. Решите уравнения:

6. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

7. Сколькими способами можно распределить 12 классных комнат под 12 учебных кабинетов?

8. В ящике с деталями оказалось 300 деталей I сорта, 200 деталей II сорта и 50 деталей III сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь I, II или III сорта?

9. В урне находится 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что это шар также окажется белым.

10. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

11. В урне находится 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным.

12. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течении часа первый автомат не потребует внимание рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна 0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один из автоматов не потребует внимание рабочего.

13. В урне находится 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынут один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

14. В урну, содержащую три шара, положили белый шар, после чего из нее наугад вынули один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету) равновозможные.

15. В ящике сложены детали: 16 деталей с первого участка, 24-со второго и 20-с третьего. Вероятность того, что деталь, изготовленная на втором участке, отличного качества, равна 0,6, а для деталей, изготовленных на первом и третьем участках, вероятности равна 0,8. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется отличного качества.