2. Этапы развития научной теории.

В своем развитии каждая научная теория проходит четыре фазы.

I. Накопление фактов – так называемый индуктивный синтез. Так, первобытный человек накапливает сведения о числах, учится считать, планирует и измеряет участки земли для земледелия.

II. Выделение из накопленного материала первоначальных понятий, осознание их связей, создание системы аксиом. В это время в сознании людей формируются понятия точки, прямой, выясняется тот факт, что через две точки проходит единственная прямая и т.д.

III. Осуществление дедуктивного построения теории, основанное на первоначальных понятиях и аксиомах. Например, в курсе геометрии основной школы доказывается теорема о том, что медиана в равнобедренном треугольнике является одновременно и биссектрисой, и высотой.

IV. Проверка теорем построенной теории на конкретных моделях – осуществляется построение абстрактной теории.

В соответствии с этапами развития научной теории, математическую деятельность человека можно представить как мыслительную деятельность, протекающую по следующей схеме:

I. Проводится математическая организации математического материала – МОЭМ. Так, на этом этапе учащийся наблюдает на картинке некоторое множество грибков, пересчитывает их.

II. Проводится логическая организация математического материала -ЛОММ.

В это время учащийся, например, знакомится с переместительным законом сложения чисел (3+5=5=3).

III. Осуществляется применение математической теории, построенной на предыдущем этапе, на практике. Например, учащимися проводятся вычисления значения выражения с использованием сочетательного закона умножения:

.

3. Математическое понятие, его свойства.

В практической деятельности человек отличает одно понятие от другого, пользуясь признаками или особенностями объектов, демонстрирующих это понятие. Среди различных свойств объектов выделяют единичные свойства и общие. Общее свойство объекта – является отличительным свойством, если оно выражает существенное свойство этого объекта, которое выделяет его из ряда других объектов. Например, если понятие треугольника определить как многоугольник с тремя сторонами, то именно общее свойство треугольника (наличие трех сторон) выделяет его из множества всех остальных многоугольников.

В процессе отражения в мозгу человека общих свойств объекта возникает особая форма мышления – понятие.

Процесс формирования у младшего школьника понятия натурального числа можно проследить на примере его знакомства с числом 3:

I ступень – знакомство с конкретными множествами: три яблока, три авторучки и т.д., эти предметы можно потрогать, увидеть, это чувственное познание.

II ступень – отвлечение от предложенных объектов и предложение отыскать в этих множествах нечто общее. Оказывается, что число три (3) является существенным признаком этих множеств. В сознании учащегося формируется математическое понятие – число 3; в этом понятии отражены существенные свойства объектов изучения – множеств.

Каждое понятие обладает некоторыми особенностями: содержанием и объемом.

Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия. Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином, объектов, к которым применимо данное понятие.

Пример 2: Рассмотрим понятие параллелограмма: (Рис. 1).

	Параллелограмм
Содержание понятия: множество существенных признаков –(1)противоположные стороны равны и (2)параллельны, (3)противоположные углы равны и т.д.		Объем понятия: множество всех параллелограммов.

Рис.1

Между объемом и содержанием понятия существует особая связь: чем «больше» объем понятия, тем « меньше» его содержание и обратно.