Тема X – основные понятия геометрии евклида

1. Система аксиом д.Гильберта на плоскости (геометрия Евклида)

2. Простейшие геометрические фигуры на плоскости.

1. Система аксиом д.Гильберта на плоскости (геометрия Евклида)

На уроках математики учащиеся начальной школы встречаются

с понятиями точки, прямой, плоскости, множества, соответствия и др. Эти понятия являются неопределяемыми, основными, разъясняются учащимся в основном на примерах, реальных жизненных объектах. Смысл же некоторых понятий раскрывается неявно при помощи других понятий, в частности аксиом. Рассмотрим систему аксиом Д. Гильберта, которая является результатом преобразования системы аксиом Евклида и изложена современным языком.

В геометрии точки плоскости обозначаются А,В,С.., прямые на плоскости обозначаются а, в, с, …, плоскости – греческими буквами. Из заданных точек, прямых образуются новые объекты, которые вводятся уже по определению.

Система аксиом Д. Гильберта. на плоскости состоит из пяти групп аксиом.

1 Группа аксиом – аксиомы принадлежности .

I (1) Прямая есть множество точек.

I (2) Для двух различных точек существует одна и только одна прямая, содержащая эти точки (аксиома 1(2) знакома учащимся начальной школы в иной формулировке - через две различные точки проходит единственная прямая).

I (3) Существует хотя бы одна прямая и каждой прямой принадлежит хотя бы она точка (существование прямой также знакомо учащимся неачальной школы)

Аксиомы первой группы в неявном виде определяют понятия точки и прямой. Известно, что явных определений этих понятий не существует.

II группа аксиом– аксиомы расстояния.

Будем предполагать (как и в случае истолкования этого вопроса школьниками), что расстоянием между двумя точками А и В является длина отрезка АВ.

II 1) Если А не совпадает с В, тогда |AB|>0,

Если А совпадает с В, тогда |AB|=0.

II (2) |AB|=|BA|.

II (3) - это неравенство называется неравенством треугольника.

С этими аксиомами в неявном виде учащиеся тоже знакомятся при изучении математики: с которой стороны не измерить отрезок, его длина не изменится.

III группа аксиом– аксиомы порядка.

Замечание: предполагается, что все люди, (в том числе и школьники) понятие «между» понимают интуитивно одинаково. Аксиомы порядка описывают точный смысл этого понятия.

Пусть выбрана прямая «р», на ней зафиксирована точка О. Любая точка О разбивает множество всех, отличных от точки О, точек прямой «р» на два непустых множества M и N следующим образом:

III (1)Если , то говорят, что точка О лежит между точками А и В

(Рис.1.)

Рис.1.

Если (Рис.2(а)) или (Рис.2(b)), то говорят, что либо точка В лежит между А и О, либо точка А лежит между точками О и В.

Рис.2a

Рис.2b.

Ш (2)Для любого положительного действительного числа «а» для заданного луча с началом в точке О существует одна и только одна точка, находящаяся от точки О на расстоянии «а».

Ш (3)Если точка С лежит между точками А и В, тогда точки А,В,С лежат на одной прямой.

Ш (4)Любая прямая «р» разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два непустых множества так, что:

-любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой «р»(Рис.3),

Рис.3.

-любые две точки, принадлежащие одному множеству, не разделены прямой «р» (Рис.4).

Рис. 4.