Тема II – элементы математичексой логики

1. Понятие высказывания, логической операции с высказываниями.

2. Операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации,

эквиваленции.

3. Свойства логических операций.

4. Понятие предиката с одной переменной.

5. Кванторные операции с предикатами.

1. Понятие высказывания, логической операции с высказываниями.

Познавая окружающий мир, человек устанавливает связи и отношения между объектами, явлениями, эти связи формулируются в виде предложений, связывающих различные понятия. Например, в предложении «у квадрата четыре угла, связаны понятия: «квадрат» и «угол». Любая математическая теория формулируется в виде утверждений о свойствах и зависимостях математических понятий, которые выявляются с помощью логических рассуждений. Любое рассуждение – это цепочка предложений о понятиях, и уже начальный курс математики предполагает у учащихся развитие навыков проведения анализа, синтеза, обобщения, сравнения. Поэтому учитель начальных классов должен быть знаком с наукой о формах и законах мышления.

Следуя классической логике греческого философа Аристотеля (384 – 322 до н.э.) в анализе каждого рассуждения целесообразно выяснить, верными ли являются исходные предположения и правильно ли использована форма логического вывода. Поэтому при анализе рассуждений используются только такие утверждения, относительно которых можно сказать, истинны они или ложны, это высказывания.

Опр.1. Высказыванием называется утверждение, относительно которого можно утверждать, истинно оно или ложно. Например: (1) В прямоугольном треугольнике есть прямой угол – истинное высказывание; (2) 6>8 – ложное высказывание. Существуют утверждения, которые не являются высказываниями, например: «закрой окно!», относительно него нельзя утверждать, истинно оно или ложно. Высказывания обозначаются: А,В,С… Если высказывание истинно, то говорят, что оно принимает значение истинности «единица»: А=1, если В ложно, его значение истинности – «нуль»: В=0; например, если С: 10<5, то С=0.

Рассмотренные выше высказывания называются элементарными, из них, с помощью определенных слов (связок), строятся новые составные высказывания, этими словами являются слова: «не», «или», «и», «если…то», «равносильно».

Опр. Логической операцией называется новое высказывание, полученное соединением двух элементарных высказываний посредством связок «не», «или», «и», «если…то», «равносильно».

2. Операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции

(а) Логической операции «отрицание высказываний» соответствует логическая связка «не». Если высказывание А – истинно (т.е. А=1), то, утверждая, что А ложно, получаем новое высказывание, отрицание А, обозначается . При этом, если А=1, то =0, если А=0, то =1. Отрицание высказывания часто строится при помощи слова «неверно».Например, пусть А:

«Санкт – Петербург расположен на Неве» (А=1), тогда : «неверно что Санкт – Петербург расположен на Неве», или «Санкт – Петербург не расположен на Неве» ( =0). Все значения заданных и полученных высказываний сводятся в одну таблицу, таблицу истинности, которая позволяет ввести формальное определение операции.

Опр.2. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание (неверно, что А), истинность которого задается таблицей (табл 1)

А
1	0
0	1

Табл 1

(б) Логической операции «конъюнкция» соответствует логическая связка «и», ее символ - , A B – обозначение конъюнкции высказываний А и В.

Опр.3. Конъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание С=A B, полученное соединением этих высказываний посредством связки «и» ( ), истинность которого определяется таблицей (Табл 2):

А	В	A B
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Табл 2

Таблица показывает, что конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба высказывания, в остальных случая конъюнкция ложна.

Пример 1. Пусть имеем два высказывания А и В.

А: 5<10, А=1;

В: 10<16, В=1; тогда конъюнкция A B записывается:

A B: (5<10) (10<16), или 5<10<16, при этом полученное неравенство истинно, A B=1 - имеем истинное двойное неравенство. Иначе говоря, двойное числовое неравенство вида a<b<c является конъюнкцией двух неравенств: a<b и b<c.

Пример 2. Пусть имеем два высказывания А и В.

А: 7-2=5, А=1; В: 8 – число четное, В=1, конъюнкция A B записывается:

A B: (7-2=5) (8 – число четное). По составленной таблице, конъюнкция двух истинных высказываний есть высказывание истинное.

Замечание 1: Последний пример показывает, что при построении логических операций содержательная сторона высказываний не всегда имеет значение.

(в) Логической операции «дизъюнкция» соответствует логическая связка «или», ее символ - , A B – обозначение дизъюнкции высказываний А и В.

Опр. 4. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание С= A B, полученное соединением этих высказываний посредством связки «или» ( ), истинность которого определяется таблицей (Табл 3)

A	B	A B
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Табл 3

Таблица показывает, что дизъюнкция истинна всегда, кроме случая ложности обоих высказываний.

Пример 3. Пусть имеем два высказывания А и В.

А: 5<10, А=1;

В: 5=10, В=0; тогда конъюнкция A B записывается:

A B: (5<10) (5=10), эту дизъюнкцию можно записать в виде , причем, по таблице - A B=1. Иначе, нестрогое числовое неравенство вида является дизъюнкцией строгого неравенства и равенства .

Пример 4. Пусть имеем два высказывания А и В.

А: 2=3, А=0;

В: 2>3, В=0, по таблице истинности дизъюнкция A B:

(2=3) (2>3) – ложна, как дизъюнкция двух ложных высказываний.

( г) Логической операции «импликация» соответствует логическая связка «если…то»,ее символ - , A B – обозначение импликации высказываний А и В.

Опр.5. Импликацией двух высказываний А и В называется новое высказывание С=(A B), полученное соединением этих высказываний посредством связки «если…то» ( ), истинность которого определяется таблицей (Табл 4)

A	B	A B
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Табл 4

Таблица показывает, что импликация истинна всегда, кроме значения 0 в строке в которой имеется число 100.

Символическая запись «A В» читается:

- из А следует В;

- если А, то В.

Замечание 2: В обыденной жизни под выражением «если А, то В» обычно подразумевается тот факт, что если произойдет событие А, то произойдет и событие В. В математической логике это не всегда так. Для двух высказываний А (А: 10:5=2) и В (В: на улице холодно) можно построить импликацию «A В» (если 10:5=2, то на улице холодно). Истинность таких импликаций проверяется по таблицам истинности, однако с точки зрения здравого смысла такая импликация не имеет смысла.

Замечание 3: в изучении логических законов при введении для рассмотрения нового объекта А часто используется выражение «для любого А», для краткости это выражение записывается символически « А». Смысл этого символа рассмотрим позже.

Рассмотрим случай применения понятия импликации в курсе математики.

Пусть А: «Четырехугольник MNPQ – параллелограмм»

В: «Диагонали четырехугольника MNPQ в точке пересечения делятся пополам».

Импликация A В: «Если четырехугольник MNPQ параллелограмм, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам».

Если А=1 и В=1, то (A В)=1 – получили известную теорему из курса геометрии основной школы.

С помощью таблиц истинности можно доказать логические формулы:

1.

2.

(д) Логической операции «эквиваленция» соответствует логическая связка «равносильно», «равнозначно», ее символ , A B – обозначение эквиваленции высказываний А и В.

Опр. 6. Эквиваленцией двух высказываний А и В называется новое высказывание С=(A B), полученное соединением этих высказываний посредством связки «равносильно» ( ), истинность которого определяется таблицей (Табл 5)

A	B	A B
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Табл 5

Таблица показывает, что эквиваленция истинна тогда, когда оба высказывания имеют одинаковые значения истинности. Выражение A B читается:

- А равносильно В;

- А равнозначно В;

- А тогда и только тогда, когда В.