- •Профиль – начальное образование) Пояснительная записка
- •Тема I - множества
- •1. Понятие множества, геометрическая интерпретация числовых множеств на числовой прямой
- •2. Операции с числовыми множествами (объединение, пересечение, разность).
- •3. Декартово произведение множеств
- •1. Понятие множества, геометрическая интерпретация числовых множеств на числовой прямой
- •2. Операции с числовыми множествами (объединение, пересечение, разность)
- •3. Декартово произведение множеств
- •Тема II – элементы математичексой логики
- •2. Операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации,
- •3. Свойства логических операций.
- •4. Понятие предиката с одной переменной.
- •5. Кванторные операции с предикатами.
- •2. Операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции
- •3. Свойства логических операций
- •4. Понятие предиката с одной переменной
- •5. Кванторные операции с предикатами.
- •Тема III – логическая организация математического материала.
- •1. Понятие математической деятельности человека.
- •2. Этапы развития научной теории.
- •3. Математическое понятие, его свойства.
- •4. Определение математического понятия
- •Тема IV - множество натуральных чисел n
- •1. Натуральное число как характеристика класса равносильных конечных множеств. Равные натуральные числа.
- •2. Последовательность натуральных чисел.
- •3. Использование последовательности натуральных чисел для определения численности конечного множества.
- •4. Операция сложения чисел в множестве n.
- •5. Операция вычитания чисел в множестве n.
- •6. Операция умножения чисел в множестве n.
- •7. Операция деления чисел в множестве n
- •Тема V – основные понятия позиционной системы счисления
- •1. Возникновение позиционной системы счисления.
- •2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
- •3. Примеры операций с числами в системе счисления с основанием «t».
- •1. Возникновение позиционной системы счисления
- •2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
- •3. Примеры операций с числами в системе счисления с основанием «t»
- •Тема VI – делимость чисел в множестве n
- •1. Отношение делимости чисел в n и его свойства
- •2. Общий признак делимости б. Паскаля (1623 – 1662гг.)
- •3. Частные признаки делимости чисел в множестве n
- •4. Делители чисел в множестве n
- •5. Общие делители чисел в множестве n
- •6. Общие кратные чисел в множестве n
- •Тема VII - основные понятия функции
- •3. Прямая пропорциональная зависимость величин.
- •4. Обратная пропорциональная зависимость величин.
- •3. Прямая пропорциональная зависимость величин.
- •4. Обратная пропорциональная зависимость величин.
- •Тема VIII – основные понятия уравнений
- •1. Числовые выражения.
- •2. Понятие уравнения, свойства уравнений.
- •1. Числовые выражения
- •2. Понятие уравнения, свойства уравнений
- •Тема IX – аксиоматический метод построения науки
- •1. Виды понятий элементарной геометрии.
- •2. Сущность аксиоматического метода построения теории.
- •3. Возникновение и развитие аксиоматической теории геометрии Евклида.
- •1. Виды понятий элементарной геометрии.
- •2. Сущность аксиоматического метода построения теории
- •3. Возникновение и развитие аксиоматической теории геометрии Евклида
- •Тема X – основные понятия геометрии евклида
- •1. Система аксиом д.Гильберта на плоскости (геометрия Евклида)
- •2. Простейшие геометрические фигуры на плоскости.
- •1. Система аксиом д.Гильберта на плоскости (геометрия Евклида)
- •1 Группа аксиом – аксиомы принадлежности .
- •II группа аксиом– аксиомы расстояния.
- •III группа аксиом– аксиомы порядка.
- •IV группа аксиом – аксиомы подвижности плоскости .
- •V группа аксиом – аксиома параллельности .
- •2. Простейшие геометрические фигуры на плоскости.
- •Тема XI – множество рациональных неотрицательных чисел
- •1.Основные принципы построения множества рациональных неотрицательных чисел ( ).
- •2. Понятие рационального неотрицательного числа.
- •3. Операции с рациональными неотрицательными числами.
- •1.Основные принципы построения множества рациональных неотрицательных чисел ( )
- •2. Понятие рационального неотрицательного числа
- •3. Операции с рациональными неотрицательными числами
- •Тема XII – основные понятия величины
- •1. Общее понятие величины.
- •2. Длина отрезка как величина.
- •3. Площадь плоской фигуры как величина.
- •1. Общее понятие величины
- •2. Длина отрезка как величина
- •3. Площадь плоской фигуры как величина
- •Вопросы к экзамену (профиль – начальное образование)
- •Вопросы к зачету (профиль –психолого-педагогическое образование)
Тема IX – аксиоматический метод построения науки
1. Виды понятий элементарной геометрии.
2. Сущность аксиоматического метода построения теории.
3. Возникновение и развитие аксиоматической теории геометрии Евклида.
1. Виды понятий элементарной геометрии.
Понятия, встречающиеся в курсе геометрии можно разделить на три группы.
1) Смысл понятий первой группы раскрывается в других науках, к ним относятся понятия множества, принадлежит, соответствует, число, уравнение и др. С некоторыми из этих понятий мы ознакомились при изучении других тем.
2) Понятия второй группы устанавливают связи и зависимости между геометрическими понятиями, являются механизмом построения геометрии как науки, к ним относятся понятия аксиомы, теоремы, следствия и др.
3) Третья группа понятий содержит непосредственно геометрические понятия, составляющие содержание науки геометрии, к ним относятся понятии точки, прямой, квадрата, цилиндра и многие другие (с этими понятиями познакомимся позже).
Рассмотрим подробнее некоторые понятия, которые отнесли ко второй группе. Геометрические понятия, составляющие содержание науки геометрии, возникли в сознании человечества еще в глубокой древности. Первобытным людям при развитии землепользования необходимо было научиться измерять и распределять участки земли. Древние математики владели уже достаточно большим запасом математических (геометрических) понятий.
С теоретической точки зрения каждое геометрическое понятие необходимо объяснить, растолковать его для дальнейшего использования. В современной науке для раскрытия смысла математического понятия и связей его с другими понятиями используется некий аппарат, называемый аксиоматическим методом построения науки (суть аксиоматического метода рассмотрим ниже) Элементами этого метода являются понятия аксиомы, определения, теоремы и др.
Опр. 1. Аксиомой называется предложение, описывающее общие и существенные связи и зависимости изучаемых объектов; истинность предложения оценивается практикой познания.
Хорошо известной аксиомой является аксиома: «Для двух различных точек существует одна и только одна прямая, содержащая эти точки».
Замечание: В курсе математики основной школы эта аксиома формулируется как «через две различные точки проходит единственная прямая».
Кроме аксиом, математические понятия связываются и другими способами.
Еще в древности заметили, что каждое математическое понятие является некоторым производным другого понятия, т.е. об одном понятии можно рассказать через другое понятие. Так появился еще один элемент аксиоматического метода – определение понятия.
Опр.2. Определением понятия называется перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное высказывание (речевое или символическое).
В геометрии чаще всего новое понятие вводится определением через род и видовое отличие. Например, пусть сформулировали определение прямоугольника в следующем виде:
«Прямоугольником называется параллелограмм, имеющий прямой угол». В этом определении «прямоугольник» - понятие определяемое, оно содержит новое знание об изучаемых многоугольниках. «Параллелограмм» - это известное понятие, через которое определяется прямоугольник, это - род многоугольников. «Прямой угол» - это видовое отличие параллелограмма, с помощью которого прямоугольник выделяется из множества параллелограммов.
Наконец, существуют так называемые понятия неопределеяемые, понятия, для которых не формулируются определения, они вводятся в теорию на уровне описания, представления. Например, понятия «точка», «множество», плоскость и др.