3. Примеры операций с числами в системе счисления с основанием «t»

С числами в системе счисления, отличной от десятичной, можно выполнять те же операции, что и в десятичной системе.

Естественным привычным нам процессом сложения натуральных чисел является сложение чисел с опорой на выученную в первом классе таблицу сложения чисел в пределах десяти. Поэтому, все операции с числами в других системах счисления проще выполнять в десятичной системе, переводя в процессе вычислений полученные результаты в числа используемой в данной задаче системы. Так как каждая следующая операция с натуральными числами (вычитание, умножение, деление) обязательно включает в решение своей задачи операцию сложения, рассмотрим, для примера, операцию сложения двух чисел, заданных в системе счисления, отличной от десятичной.

Как известно, в первом классе учащиеся учатся считать в пределах первого десятка, опираясь в рассуждениях на понятие объединения непересекающихся множеств, и далее используя таблицу сложения: (Табл.1.)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	4	5	6	7	8	9	10
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10
6	7	8	9	10
7	8	9	10
8	9	10
9	10

Табл.1.)

Из таблицы видно, что числа, превышающие значение основания выбранной системы счисления (десятичной), изображаются уже не одним, а двумя символами (цифрами): «10» - это «десяток» в десятичной системе счисления.

Замечание: в приведенном рассуждении понятие «десяток» взято в кавычки, это не означает никакого скрытого смысла записи, а сделано для того, чтобы проще было выделить понятие «десяток» в других системах счисления.

При сложении многозначных чисел возникает необходимость разряды более высокого порядка раздроблять в единицы более низкого порядка (сотни – в десятки, десятки – в единицы) и далее оперировать с ними, как с обычными единицами. И обратно, единицы преобразуем в десятки, десятки – в сотни и т.д. Аналогичный алгоритм используем и при выполнении операции сложения в других системах счисления. Отличие алгоритма сложения чисел в системах, отличных от десятичной, заключается в том , что при раздроблении единиц высшего разряда в низший, последний содержит не десять единиц высшего разряда, а столько единиц, каково основание системы счисления «t». Так, «десяток» в восьмеричной системе содержит не 10 «простых» единиц, а всего 8 единиц.

Например, рассмотрим подробно сложение двух чисел в восьмеричной системе счисления: 3467 +2772 . Алгоритм операции сложения приведен в таблице (табл.2).

«тысячи»	«сотни»	«десятки»	единицы
3	4	6	7
2+1 «тыс»	7+ 1«сотня»	7+1 «дес»	2
6 тысяч	12 «сотен»= 8«сот»+4«сотни»= 1 «тыс»+4 «сот» (одну «тысячу» переносим в разряд «тысяч»)	14 «дес»= 8 «дес»+6 «дес»= 1 «сотня» +6 «дес» ( одну «сотню» переносим в разряд «сотен»)	9ед.=8ед+1ед= 1 «дес»+1ед= 10 +1ед= 1 «дес»+1ед (один «дес» переносим в разряд «десятков»)

Табл.2

В результате сложения заданных чисел получили число, содержащее 6 тысяч, 4 сотни, 6 десятков, 1 единицу (в восьмеричной системе), т.е. 6461 , или

3467 +2772 =6461 .

Подобный алгоритм используется и при вычитании чисел в системах счисления, отличных от десятичной. Например, пусть надо найти разность двух чисел 3421 - 2143 . Алгоритм операции вычитания иллюстрируется таблицей (табл.3):

«тысячи»	«сотни»	«десятки»	единицы
3	4 - 1	2 - 1	1
2	1	4	3
3«тыс»-2 «тыс» =1 «тыс»	3 «сот» - 1 «сот» =2 «сот»	В уменьшаемом остался один «дес», из одного «дес» вычесть 4 «дес» нельзя, занимаем одну «сотню»(1 «сот»=5 «дес»), 5+1=6 «дес» , 6-4=2 «дес»	Из одной ед-цы вычесть 3 ед-цы нельзя, занимаем один«десяток» (10 ),5+1=6, 6-3=3 ед.

Табл.3.

В результате вычитания получили число, содержащее одну тысячу, 2 сотни, 2 десятка и 3 единицы, т.е. число 1223 : 3421 - 2143 =1223 .

Пусть надо найти произведение чисел: .

, где процесс вычисления осуществляется следующим образом:

1) находим произведение : вычисляем произведение имеем ноль “единиц” и три “десятка”, число ноль записываем в результат, три “десятка” добавляем к “десяткам” следующего произведения; вычисляем произведение имеем четыре “десятка” и одну “сотню”, кроме того имеем три “десятка” из предыдущего произведения, всего имеем де-

сятков”, записываем в ответ число ;

2) находим произведение вычисляем произведение ,

имеем четыре “десятка” и одну “сотню”, число четыре записываем в результат, а одну “сотню” добавляем к “сотням” следующего произведения; вычисляем произведение кроме того имеем одну “сотню” из предыдущего про- изведения, получаем семь “сотен”, число ( “десятка”или ) записываем в результат.

3)сумма чисел находится по предыдущему правилу.

При выполнении других операций с числами в различных системах счисления используются те же свойства систем счисления, с которыми мы встретились при выполнении сложения и вычитания. Кроме того, при умножении и делении зачастую не обойтись без специально составленной таблицы умножения в соответствующей системе счисления.