6. Математична модель задачі

Побудуємо математичну модель задачі, для чого введемо наступні позначення: xij – об'єм перевезення зі складу i на підприємство j; cij – вартість перевезення зі складу i на підприємство j; ai – запас товару на складі i; bj – потреба в товарах на підприємстві j. Математична модель формулюється в такий спосіб:

мінімізувати функцію мети

( 3.22 )

при обмеженнях

( 3.23 )

Обмеження збалансованої задачі показують, що всі товари зі складів повинні бути вивезені, а потреби підприємств задоволені.

7. Розміщення математичної моделі в ms Excel і рішення задачі

Вид моделі, уведеної в робочу таблицю наведений на Рис.3.12а. Формули, що відображають математичну модель показані на Рис. 3.12б.

На Рис. 3.13. показане вікно Пошук рішення з уведеними параметрами пошуку. Порядок рішення задачі й вікно параметрів пошуку рішення не відрізняються від задачі лінійного програмування (див. вище). Результат рішення задачі показаний на Рис. 3.14.

З Рис. 3.14 бачимо, що мінімальні витрати на перевезення становлять 2050 грн. Оптимальні об'єми перевезень: з Донецька в Луганськ – 50т, у Маріуполь – 70т; з Харкова в Луганськ – 100 т; із Дніпропетровська в Запоріжжя – 100т, у Маріуполь – 40т, у Херсон – 40т.

Таким чином, із усіх складів товари вивезені, потреби всіх споживачів задоволені.

а)
б)

Рис.3.12

Рис. 3.13

Рис. 3.14

Варіанти завдань

Варіант №1.

На меблевій фабриці зі стандартних аркушів фанери необхідно вирізати заготовки трьох видів у кількостях відповідно 60,40 і 5 штук. Кожний аркуш фанери може бути розрізано на заготовки двома способами. Кількість одержуваних заготовок при даному способі розкрою й величина відходів, які виходять при даному способі розкрою одного аркуша фанери наведені в таблиці:

Вид заготовки	Кількість заготовок (шт.) при розкрої
	1-й спосіб	2-й спосіб
I	6	2
II	2	2
III	0	1
Величина відходів (кв. див.)	10	20

Норматив розкрою фанери 1-м способом становить 25 хвилин, а 2-м - 38 хвилин. Фабрика може найняти 2 робітників, тривалість робочого дня яких становить 8 годин. Визначити, скільки аркушів фанери і яким способом слід розкроїти так, щоб було отримано не менш потрібної кількості заготовок при мінімальних відходах.

Завдання

1. Визначити оптимальний план розкрою фанери.

2. Чи у повному об'ємі меблева фабрика використовує свої ресурси? Конкретизуйте свою відповідь.

3. Чи коштує підприємству збільшувати вакансії працівників? Конкретизуйте свою відповідь.

4. Яким образом необхідно змінити величину відходів виробництва для одержання нового оптимального базису?

5. У яких межах можуть змінюватися праві частини обмежень при збереженні оптимального розкрою (оптимального базису)?

Варіант №2

Меблева фабрика робить недорогі столи й стільці. У розпорядженні фабрики 4 виду ресурсів, запаси яких обмежені. Потреби в ресурсах і можливості по їхньому використанню (запаси) протягом доби наведені в таблиці. Максимальна потреба в столах на плановий період - 40 шт. Кожний проданий стіл приносить прибуток в $7, а проданий стілець в $5.

Ресурс	Потреба в ресурсі		Денний запас ресурсу
	Столи	Стільці
Теслярська ділянка (час)	4	3	240
Ділянка фарбування (час)	2	1	100
Ділянка контролю (час)	0,5	0,6	36
Деревина (лин. фут)	32	10	1248

Завдання

1. Визначити оптимальний план виробництва меблевої фабрики.

2. Чи у повному об'ємі використовує фабрика свої ресурси? Конкретизуйте свою відповідь.

3. Чи коштує фабриці купувати додаткова кількість деревини за ціною $0.07 за лінійний фут?

4. До керівництва фабрики звернулися із проханням про щоденну здачу в оренду деякої кількості годин ділянки фарбування. чи коштує фабриці йти на це? Якщо так, то скільки годин можна здати в оренду? Дайте відповідні пояснення.

5. У яких межах може змінюватися робочий час теслярської ділянки, а також ділянок фарбування й контролю без впливу на базис оптимального рішення?

Варіант 3

Компанія робить продукцію у звичайнім виконанні й у виконанні люкс. Потреби в ресурсах наведені в таблиці. 1640 годин часу в тиждень можуть бути використані на ділянці складання, 700 годин на тиждень на ділянці фарбування й 300 годин на тиждень на ділянці контролю. Постійні клієнти споживають щонайменше 150 одиниць продукції у звичайнім виконанні й 90 одиниць у виконанні люкс. Компанія зацікавлена в оптимальній комбінації випуску продукції протягом тижня.

Продукт	Внесок в прибуток	Час складання	Час фарбування	Час контролю
Звичайний	$50	1.2	0.8	0.2
Люкс	$75	1.6	0.9	0.2

Завдання

1. Визначити оптимальний об'єм випуску кожного виду продукції в плині тижня.

2. Яка прирістна цінність значення правої частини обмеження по продукції у звичайнім виконанні?

3. У яких межах можуть змінюватися праві частини обмежень при збереженні оптимальної комбінації випуску продукції?

4. У зв'язку з ростом інфляції внесок у прибуток від реалізації продукції змінюється. Компанія прагла б довідатися, як дана зміна впливає на оптимальну комбінацію випусків продукції. З комп'ютерного звіту визначите, за якими межами значень внесків у прибуток поточна комбінація випусків продукції буде неоптимальним.

5. Компанія розглядає можливість звільнення від зобов'язань по випускові продукції у звичайнім виконанні в кількості 50 одиниць. Скільки вона повинна буде заплатити за розрив контракту?

Варіант 4

Продуктова компанія робить 3 виду консервованих продуктів: змішані фрукти, фруктовий коктейль і фрукти «Захват». Основними інгредієнтами цих продуктів є груші й персики. Кожний продукт проводиться партіями й повинен пройти 3 стадії виробництва: змішування, консервування й упакування.

	Фрукти	Коктейль	Захват	Є на складі
Персики (кг)	20	10	16	320
Груші (кг)	10	20	16	400
Змішування(годин)	1	2	2	43
Консервування(годин)	1	1	1	60
Упакування(годин)	2	1	1	40
Прибуток	10	6	8

Завдання

1. Визначити оптимальні обсяги виробництва кожного виду консервованої продукції.

2. Яку максимальну ціну може компанія заплатити за додаткову кількість груш? Скільки кг груш може бути куплене за такою ціною?

3. Компанія може придбати нову машину для змішування фруктів, що може збільшити кількість годин роботи ділянки змішування з 43 до 60. чи Вплине це на оптимальний результат? Чому?

4. Менеджер одержав можливість зробити запас додаткової кількості тільки одного виду ресурсу. Що це за ресурс і скільки його повинне бути запасене?

5. У результаті стихійного лиха відбулося псування 50 кг персиків. Чи можна сказати, які збитки несе компанія у зв'язку із цим?

Варіант 5

М'ясокомбінат праг би визначити кількості яловичини, курятини й баранини для виробництва 100 фунтів ковбаси. У процесі виготовлення (змішування вихідних компонентів) необхідно врахувати наступні вимоги:

а) протеїн (білок) повинен становити щонайменше 12% від ваги ковбаси;

б) зміст жиру повинний бути не більш 24% від ваги ковбаси;

в) зміст води повинний бути не більш 64% від ваги ковбаси;

г) зміст баранини повинний становити не менш 30% від ваги ковбаси.

У таблиці показані склад і вартість одного фунта кожного типу м'яса.

Припустимо, що спеції й інші компоненти становлять незначну по вазі кількість стосовно всієї ковбаси, а також, що яловичина, курятина й баранина можуть бути куплені в необмеженій кількості за зазначеними цінами.

	Яловичина	Курятина	Баранина
Зміст білка, %	20	15	15
Зміст жиру, %	20	15	25
Зміст води, %	60	70	60
Ціна за фунт, $	1	0,5	0,7

Завдання

1. Визначити оптимальні об'єми закупівлі кожного виду продукту.

2. Ціна за фунт яловичини знизилася з $1.00 до $0.75. Визначити нові значення змінних в оптимальнім рішенні й мінімальні витрати.

3. Мінімальний зміст протеїну необхідно збільшити з 12% до 14%, визначити нове значення мінімальних витрат.

4. Максимальний зміст води необхідно знизити з 64% до 62%, визначити нове значення мінімальних витрат.

5. Якщо м'ясокомбінату необхідно буде виготовити 90 замість 100 фунтів ковбаси, то якими тоді будуть мінімальні витрати?

Варіант 6

Текстильна фабрика робить недорогі кофточки й плаття. У розпорядженні фабрики 4 виду ресурсів, запаси яких обмежені. Потреби в ресурсах і можливості по їхньому використанню (запаси) протягом доби наведені в таблиці. Максимальна потреба в платтях на плановий період - 35 шт. Кожне продане плаття приносить прибуток в 7$, а продана кофточка в 5$.

	Плаття	Кофти	Денний запас ресурсу
Ділянка пошиття (час)	4	3	240
Ділянка розкрою (час)	2	1	100
Ділянка контролю (час)	0.5	0.6	36
Тканина (лін. фут)	32	10	1248

Завдання

1. Визначити щоденний оптимальний обсяг виробництва кофточок і платтів.

2. Чи у повному об'ємі використовує фабрика свої ресурси? Конкретизуйте свою відповідь.

3. Чи коштує фабриці купувати додаткова кількість тканини за ціною $0.07 за лінійний фут? Чи коштує найняти додаткова кількість працівників з оплатою $12.75 у годину?

4. До керівництва фабрики звернулися із проханням про щоденну здачу в оренду деякої кількості годин ділянки розкрою. Чи коштує фабриці йти на це? Якщо так, то скільки годин можна здати в оренду? Дайте відповідні пояснення.

5. У яких межах може змінюватися робочий час ділянки пошиття, а також ділянок розкрою й контролю без впливу на базис оптимального рішення?

Варіант 7

Продуктова компанія робить 3 виду фруктових коктейлів: «Вогник», «Вітамінний», «Фірмовий». Основними інгредієнтами цих продуктів є полуниця й малина. Кожний продукт проводиться партіями й повинен пройти 3 стадії виробництва: змішування, консервування й упакування.

	Вогник	Вітамінний	Фірмовий	Наявність ресурсу
Полуниця (кг)	20	10	16	320
Малина (кг)	10	20	16	400
Змішування(годин)	1	3	2	48
Консервування(годин)	1	2	1	65
Упакування(годин)	2	1	1	40
Прибуток	10	6	8

Завдання

1. Визначити оптимальні обсяги виробництва кожного виду продукції.

2. Компанія може придбати нову машину для змішування фруктів, що може збільшити кількість годин роботи ділянки змішування з 48 до 62. чи Вплине це на оптимальний результат? Чому?

3. Компанія може також купити нову машину для впакування, що збільшить загальний фонд часу ділянки з 40 до 50 годин. чи Змінить це оптимальний результат? Чому?

4. Менеджер одержав можливість зробити запас додаткової кількості тільки одного виду ресурсу. Що це за ресурс і скільки його повинне бути запасене?

Варіант 8

Залізничне депо формує склади швидких і пасажирських поїздів для забезпечення перевезення пасажирів на одному з напрямків. Необхідна кількість вагонів кожного типу й наявність вагонів у парку наведені в таблиці:

Тип вагона	Норми формування складів		Наявний парк вагонів
	Швидкий	Пасажирський
Багажний	1	1	12
Поштовий	1	-	20
Плацкартний	5	8	88
Купейний	6	4	43
М'який	8	1	15

Відомо також, що в одному плацкартному вагоні може розміститися 54 пасажирів, у купейному - 36, у м'якому - 18. Визначити план формування складів швидких і пасажирських поїздів, при якім забезпечувалася б перевезення максимальної чисельності пасажирів.

Завдання

1. Визначити оптимальний план формування складів.

2. Чи у повному об'ємі пасажирське депо використовує свої ресурси? Конкретизуйте свою відповідь.

3. Яким чином необхідно змінити наповнюваність пасажирського поїзда для забезпечення ефективності перевезень пасажирів?

4. У яких межах можуть змінюватися праві частини обмежень при збереженні оптимальної комбінації формування складів (оптимального базису)?

Варіант 9

Планові фонди продуктів і нормативи їх витрат на готування ста блюд чотирьох видів, а також одержуваний від їхнього продажу прибуток наведені у таблиці.

Продукти	Норми витрат продуктів на готування 100 блюд				Плановий фонд продуктів
	1-го виду	2-го виду	3-го виду	4-го виду
М'ясо, кг	6	9	-	-	3800
Риба, кг	3	-	4	-	4200
Молоко, л	5	-	-	20	5100
Макарони, кг	2	3	2	4	2300
Городин, кг	4	5	3	-	6700
Прибуток від продажу 100 блюд, грн	2	4	6	5

Завдання

1. Визначити оптимальний план готування блюд.

2. Чи у повному об'ємі підприємство використовує свої ресурси? Конкретизуйте свою відповідь.

3. Чи коштує підприємству збільшувати запас м'яса й овочів? Конкретизуйте свою відповідь.

4. У яких межах можуть змінюватися праві частини обмежень при збереженні оптимальної комбінації готування блюд (оптимального базису)?

Варіант 10

Петро - менеджер по виробництві компанії, яка поставляє добрива своїм клієнтам на основі попередніх замовлень. У момент замовлення клієнт обмовляє N-P-K - процентний вміст 3-х компонентів, де N - заданий відсоток азоту, P - заданий відсоток фосфору й К - заданий відсоток поташу, відповідно. Наприклад, якщо N-P-K заданий пропорцією 20-10-5, те це означає, що добриво містить 20% азоту, 10% фосфору й 5% поташу. Остача ваги добрива припадає на інертні складові. Деякі клієнти вказують N-Р- К точно. Інша частина клієнтів задає мінімальний процентний вміст N-P-K. Так, до теперішнього часу Петро одержав замовлення на 1000 фунтів добрив 17-14-10, де заданий мінімальний відсоток змісту кожного з компонентів. Для виконання замовлення клієнта, Петро змішує відповідні кількості наявних у нього в запасах добрив, які він здобуває від оптовика в мішках по 100 фунтів кожний. Для задоволення поточного замовлення на добриво 17-14-10 Петро має намір змішати 3 типу наявних у запасах добрив: 1 тип - 50-20-5; 2 тип - 0-15-20; 3 тип - 10-10-10. Помітьте, що для даних типів добрив значення N-P-K задані точно. Ціна кожного із цих типів добрив становить $90, $20 і $30 за 100-фунтовий мішок, відповідно.

Завдання

1. Визначити оптимальні об'єми закупівлі кожного типу добрива.

2. Якщо мінімальний зміст фосфору в готовій продукції повинне буде знизитися з 14% до 10%, то якими будуть мінімальні витрати?

3. Клієнт праг би поставити додаткова умова на зміст поташу в добриві, який повинен становити не більш 12% від загальної ваги. Як це нове обмеження вплине на оптимальне рішення? Відповідь поясните.

4. Якщо оптовик розв'яже знизити ціну за добриво 50-20-5 з $90 до $65 за 100-фунтовий мішок, яке буде нове оптимальне рішення? Які нові мінімальні витрати?

Варіант 11

Кооператив, використовуючи три типи ресурсів, реалізує продукцію чотирьох видів. Загальний об'єм ресурсів, їх витрати на продаж однієї партії виробів, а також прибуток від її реалізації наведені в таблиці.

Тип ресурсів	Витрати на реалізацію однієї партії виробів, усл.ед.				Загальний об'єм ресурсів
	1-го виду	2-го виду	3-го виду	4-го виду
Перший	3	4	2	6	64
Другий	4	7	3	5	83
Третій	2	3	6	1	58
Прибуток від реалізації однієї партії виробів, грн	14	15	12	17

Завдання

1. Визначити оптимальний план виробництва кооперативу.

2. Чи у повному об'ємі кооператив використовує свої ресурси? Конкретизуйте свою відповідь.

3. Чи коштує кооперативу збільшувати запас ресурсів 1-го й 3-го типу? Конкретизуйте свою відповідь.

4. У яких межах можуть змінюватися праві частини обмежень при збереженні оптимального плану виробництва виробів?

5. Якщо прибуток від реалізації однієї партії виробів другого й четвертого виду зменшити на одну гривню, то який прибуток втратить кооператив?

Варіант 12

Підприємство електронної промисловості випускає дві моделі радіоприймачів, причому кожна модель проводиться на окремій технологічній лінії. Добовий обсяг виробництва першої лінії — 60 виробів, другої лінії — 75 виробів. На радіоприймач першої моделі витрачається 10 однотипних елементів електронних схем, на радіоприймач другої моделі — 8 таких же елементів. Максимальний добовий запас використовуваних елементів дорівнюється 800 одиницям. Прибуток від реалізації одного радіоприймача першої й другий моделей дорівнюється 30 і 20 доларів, відповідно.

Завдання

1. Визначити оптимальний добовий обсяг виробництва першої й другий моделей.

2. Чи у повному об'ємі підприємство використовує свої ресурси? Конкретизуйте свою відповідь.

3. Чи коштує підприємству збільшувати добовий об'єм ресурсів першої й другий ліній? Конкретизуйте свою відповідь.

4. У яких межах можуть змінюватися праві частини обмежень при збереженні оптимального плану виробництва виробів?

5. Якщо прибуток від реалізації першої й другий моделей зменшити відповідно на 3 і 2 долара. Який прибуток не доодержить підприємство?