2. Методы анализа количественного влияния факторов на изменение результативного показателя.

Метод дифференциального исчисления. В данном методе исходят из того, что общее приращение функции раскладывается на слагаемые, где значение каждого определяется как произведение соответствующей частной производной на приращение переменной, по которой вычислена данная производная.

Пусть задана функция z=f(x;y). Тогда, если функция дифференцируема, то ее приращение можно выразить как

где z=(z₁-z₀) - изменение функции;

x=(x₁-x₀) - изменение первого фактора;

y=(y₁-y₀) - изменение второго фактора;

- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .

Влияние факторов x и y на изменение z определяется в этом случае как

Рассмотрим применение метода на примере конкретной функции z=xy. Пусть известны начальные и конечные значения факторов и результирующего показателя (x₀,y₀,z₀,x₁,y₁,z₁). Тогда влияние факторов на изменение результирующего показателя определяется соответственно формулами:

z_x=y₀x, z_y=x₀y

Остаточный член в линейном разложении функции z=xy равен xy. Действительно

z-z_x-z_y=(x₁y₁-x₀y₀) - y₀x - x₀y=(x₁y₁-x₀y₀) - y₀(x₁ -x₀) - x₀(y₁ - y₀)= =(x₁y₁-x₁y₀)- (x₀y₁-x₀y₀)= x₁(y₁ - y₀) - x₀(y₁ - y₀)= (y₁ - y₀)(x₁ - x₀)= xy

В данном методе так называемый неразложимый остаток просто отбрасывается. Однако в экономических расчетах требуется точный баланс результата и суммы влияния всех факторов. Поэтому:

z = x₀y + y₀x + xy

где z - приращение обобщающего показателя,

x,y - приращение факторов,

x₀,y₀ - базисные значения факторов.

Группируя в этой формуле последнее слагаемое с одним из первых, получаем два различных варианта. Первый вариант:

z = (x₀ + x)y + y₀x = x₁y + y₀x

Второй вариант:

z = x₀y + (у₀ + у)x = x₀y + y₁x

На практике обычно применяется первый вариант при условии, что х - количественный фактор, у - качественный.

Данная формула практически аналогична применяемой в индексном методе, поэтому метод имеет те же недостатки, а именно - результаты расчетов зависят от последовательности замены факторов.

В этой формуле выражение (x₀ + x)y более активно, поскольку величина его устанавливается умножением приращения качественного фактора на отчетное значение количественного фактора. Тем самым весь прирост обобщающего показателя за счет совместного изменения факторов приписывается влиянию только качественного фактора (что обуславливает соответствующий недостаток индексного метода и метода цепных подстановок).

Чтобы решить задачу точного определения роли каждого фактора в изменении обобщающего показателя было предложено использовать следующие методы:

Метод простого прибавления неразложимого остатка и интегральный способ.

В практике анализа стали делить неразложимый остаток между двумя факторами поровну. Это предложение теоретически обосновано С. М. Югенбургом.

z_x= x y₀+(ху)/2, z_y= y x₀+(ху)/2

При количестве факторов, больше двух, используются специальные формулы (интегральный способ). Например, для трехфакторной системы z = xyp

z_x=(у₀z₁+y₁z₀)/2 + xyp/3

z_y = (x₀z₁+z₀x₁)/2 + xyp/3

z_p=(у₀x₁+y₁x₀)/2 + xyp/3