53. Понятие линейной корреляции. Нахождение параметров уравнения регрессии, линейный коэффициент корреляции.

 Корреляционная зависимость между случайными величинами Х и У называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии f(y) и g(x) являются линейными. В этом случае линии регрессии- прямые и называются прямыми регрессии.

                                                                                                

Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции r, для расчета которого можно использовать, например, две следующие формулы:

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до + 1 или по модулю от 0 до 1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак указывает направление связи: «+» - прямая зависимость, «-» имеет место при обратной зависимости.

54. Понятие криволинейной зависимости, оценка тесноты связи при криволинейной зависимости

Корреляционная связь проявляется, когда одному и тому же значению факторного признака соответствует ряд значений признака-результата, причем связь обнаруживается в виде тенденции изменения среднего значения результативного признака в зависимости от изменения факторного признака. Это свободная и неполная связь.

Если происходит неравномерное изменение явления в связи с изменением величины влияющего фактора, то такая связь называется криволинейной. Математически криволинейная зависимость может быть выражена уравнением криволинейной связи. В экономическом анализе для ее выражения часто пользуютсяуравнением параболы второго порядка:   .

Уравнение криволинейной связи может быть выражено и в виде гиперболической функции: 

55. Понятие о множественной корреляции

Случайная величина Y может корреляционно (в среднем) зависеть не от одной, а от нескольких случайных величин  . Например, урожайность Y любой культуры очевидным образом корреляционно (в среднем) зависит от количества Х  внесённых под неё удобрений, количества Х  выпавших осадков, температуры Х  воздуха и т. д. Такая корреляционная зависимость называется Множественной корреляцией.

Пусть, например, случайная величина Z (дискретная или непрерывная) корреляционно зависит от некоторых двух случайных величин X и Y. Наличие такой корреляционной зависимости означает, что среднее значение   величиныZ, соответствующее значениям (X; Y) величин X и Y, зависит от этих (X; Y):

 (6.47)

Уравнение (6.47) называется Уравнением регрессии Z на X и Y. В частности, если  – линейная функция своих аргументов, то есть если

То корреляционная зависимость Z От X и Y называется Линейной. В противном случае она называется Нелинейной.

При исследовании множественной корреляционной зависимости, как и при исследовании парной (Y от X)корреляционной зависимости, ставятся те же две основные задачи:

1) Нахождение Уравнения регрессии, Выражающего зависимость среднего значения одной случайной величины от значений других случайных величин.

2) Оценка тесноты исследуемой корреляционной зависимости.

Исследование множественной корреляции – задача несравненно более сложная, чем исследование парной корреляции. При этом исследовании приходится выяснить наличие, характер и степень тесноты зависимости между каждой парой рассматриваемых случайных величин, находить некие коэффициенты их групповой взаимозависимости, и т. д. В практическом плане множественную корреляцию (впрочем, как и парную) исследуют в математической статистике – науке, которой посвящена вторая часть этой книги. Это исследование обычно производят с помощью специальных программ корреляционно – регрессионного анализа на ЭВМ.