2.4.8 Определение показателей точности косвенных измерений

Результат Y косвенного измерения определяется расчетом по измеренным значениям аргументов X_1, X₂, …, X_n и заранее известной функции Y= (X₁,X₂, …, X_n). Так как каждый аргумент измерен с соответветствующей погрешностью, то задача расчета погрешности косвенного измерения сводится к суммированию погрешностей X_i результатов прямых измерений. При этом нужно учитывать, что доля отдельных погрешностей в результирующей погрешности может быть различной в зависимости от вида функции и соотношения аргументов X_i.

Для определения чувствительности X_i используют метод частных производных

Полученные таким образом значения можно рассматривать как “веса”, с которыми в суммарную абсолютную погрешность Y) входят составляющие в виде абсолютных погрешностей измерения каждого X_i. Тогда составляющая абсолютной погрешности _iY), возникающая от абсолютной погрешности X_i), будет равна

Здесь _iY) называется частной погрешностью.

Е сли каждый X_i получается путем его многократного измерения, т.е. для каждого аргумента X_i получен ряд измерений X_i1,X_i2,…,X_ik, из которого путём статистической обработки находится среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение _i то среднее квадратическое отклонение каждой частной погрешности будет равно

где _i- СКО случайной абсолютной погрешности аргумента X_i

Далее возникает задача суммирования всех полученных частных погрешностей _iY) для получения результирующей погрешности косвенного измерения Y). При суммировании используются два метода:

1.Алгебраическое суммирование

При этом мы получаем максимально возможную погрешность косвенного измерения;

2.Геометрическое суммирование

При этом мы получаем значение погрешности более близкое к действительному значению.

Ещё раз подчеркнём, что особенностью метода частных производных для расчёта результирующей погрешности результата Y косвенного измерения является то, что он правомерен для абсолютных погрешностей. Относительные значения погрешностей должны находится соответствующим пересчётом.

Для случая использования СКО абсолютных погрешностей аргументов и при отсутствии корреляционных связей между ними эти формулы будут выглядеть так

и

Если между частными погрешностями существует взаимосвязь (корреляция), то

где r_ij- коэффициент корреляции между СКО случайных погрешностей X_i и X_j аргументов.

Чтобы пояснить изложенное выше, рассмотрим простейший случай, когда Y=X₁+X₂.

Если СКО аргументов соответственно равны ₁ и ₂ и между ними отсутствует взаимосвязь(r₁₂=0), то из последнего соотношения следует, что

.

при наличии жёсткой взаимосвязи (r₁₂ = 1) , то

и

при r₁₂= +1

при r₁₂= -1

На практике сильной корреляцией (сильной взаимосвязью) считают случай, когда r₁₂= (0.7÷1). Этот случай встречается тогда, когда погрешности вызваны одной и той же причиной (общим источником питания, воздействием одной и той же температуры и др.). При этом полагают r₁₂= 1. Погрешности, между которыми тесные корреляционные связи не просматриваются r₁₂= (0…0.7), относятся к некоррелированным и для них принимают r₁₂= 0.

Для простейших функций Y=f(X₁,X₂,…,X_n) при единичных измерениях аргументов метод частных производных приводит к простым соотношениям, которые могут быть сформулированы в виде следующих правил.

Функциональная связь между искомой и непосредственно измеряемыми величинами представляет сумму или разность аргументов

Y=aX₁+bX₂+cX₃+…

Для этого случая абсолютная погрешность Y при алгебраическом суммировании будет равна

,

а при геометрическом суммировании,

,

где a,b,c – постоянные коэффициенты.

По полученным значениям абсолютных погрешностей определяют относительные погрешности

,

Функциональная зависимость между искомой Y и непосредственно измеренными величинами представляет произведение или частное

где K- числовой коэффициент.

В этом случае просто выражается относительная погрешность косвенного измерения через относительные погрешности аргументов.

Прологарифмируем это соотношение

Продифференцировав это выражение, перейдя от дифференциалов к малым конечным приращениям (чем погрешности по существу и являются), получим

.

Окончательно получаем при алгебраическом суммировании :

;

При геометрическом суммировании будем иметь

В этих формулах ₁₂₃…- относительные погрешности аргументов.

Абсолютные погрешности определяются путём соответствующего пересчёта

, .

Эту методику можно использовать, если значения аргументов и их погрешности заданы через вероятностные характеристики (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение).