2.4.4 Доверительный интервал и доверительная вероятность
Наряду с точечными широко применяют интервальные оценки числовых характеристик случайных величин, выражающеся границами интервала, внутри которого с определенной вероятностью заключено истинное значение результата измерения. Вероятность того, что погрешность не выйдет за границы некоторого интервала, определяется по площади, ограниченной кривой распределения и границами этого интервала, отложенными по оси абсцисс (квантилями), что показано на рис. 1.10.
Рис.1.10.
Таким
образом, интервал
,
за границы которого погрешность не
выйдет с некоторой вероятностью,
называется доверительным
интервалом,
а характеризующая его вероятность -
доверительной
вероятностью.
Границы этого интервала называются
доверительными
значениями погрешности. При
измерениях можно задаваться доверительным
интервалом и по нему определять
доверительную вероятность, либо,
наоборот, по доверительной вероятности
подсчитывать доверительный интервал.
Чем больше доверительная вероятность,
тем шире доверительный интервал; поэтому
на практике обычно выбирают доверительную
вероятность 0,95 и даже 0,90.
Доверительный
интервал обычно выражают через
относительную величину
в долях среднего квадратического
отклонения (“кратность”)
.
Для нормального закона доверительную
вероятность
определяют по значениям интеграла
вероятности (функции Лапласа), который
в математической справочной литературе
обозначается
и определяется
Зная
доверительные границы
и
можно определить доверительную
вероятность
Если
значения доверительных границ
и
симметричны, т.е.
,
то
и
.
Тогда
Для наиболее часто встречающихся значений доверительной вероятности в табл. 1.3 указаны соответствующие значения кратности.
Таблица 1.3
-
P(t)
0,90
0,95
0,99
0,999
t
1,645
1,960
2,576
3,291
При
нормальном законе распределения
доверительный интервал
имеет доверительную вероятность
=0,9973,
что означает, что из 370 случайных
погрешностей только одна по абсолютному
значению будет больше
.
На основании этого основан один из
критериев грубых погрешностей, когда
остаточная погрешность какого-либо
результата измерения превышает значение
,
то этот результат считается промахом
и исключается из ряда измерений.
Пример.
Для известного числа измерений
получены значения
и
.
Определить вероятность того, что имеет
место неравенство 1,26<
<1,28.
Так
как
то
.
Используя таблицу интеграла вероятности,
находим
.
Следовательно, около 30
общего числа измерений будут иметь
случайную погрешность
,
не превышающую 0,01.
2.4.5 Распределение Стьюдента
При
малом числе повторных измерений
<20
используется распределение случайных
погрешностей, предложенное Стьюдентом.
Плотность вероятности по этому закону
зависит от значения случайной погрешности
и от числа измерений:
где
(
,
)-плотность
вероятности случайной погрешности при
заданном числе измерений
;
-гамма-функция;
s=
/
- коэффициент Стьюдента (“кратность”
случайной погрешности).
На рис.1.11 показаны графики кривых распределения случайных погрешностей по закону Стьюдента для двух значений . При →∞ распределение Стьюдента совпадает с нормальным, а при <20 всё более и более от него отличается.
Доверительный
интервал
и доверительная вероятность
s
также зависят от числа измерений.
Соответствующие значения
s
при заданном значении
и
приводятся в таблицах.
Рис.1.11
Коэффициент
Стьюдента
s
определяется из соотношения
s=
=
,где
-СКО
ряда измерений,
-доверительный
интервал.
Пример.
Для числа измерений
=6
среднее арифметическое значения
=35,4,
а СКО ряда наблюдений.
Определить доверительную вероятность
s
, если
отличается от истинного значения
на величину доверительного интервала
т.е. 35,2
≤35,6.
Определим
коэффициент Стьюдента
s=
=
.По
таблицам распределения Стьюдента
находим
0,9. Следовательно, случайная погрешность
результата измерения в 90% случаев не
выйдет за пределы доверительного
интервала.