2.4.3 Основные законы распределения случайных погрешностей

Закон равномерной плотности. Если возможные значения погрешностей заключены в определенных пределах и одинаково вероятны, то считается, что они распределены по закону равномерной плотности (рис. 1.7).

Рис 1.7

Плотность вероятности определяется

,

где .

Числовые характеристики погрешностей будут равны:

где [ ], [ ] – математическое ожидание и СКО погрешности, и – её предельные значения. Если распределение симметрично (т.е.

, то [ ]=0, [ ]= .

Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Нормальный закон распределения погрешностей описывается формулой

.

На рис. 1.8 показан вид нормального закона для двух значений СКО, причем ₂₁. Т.к. = - , то закон распределения случайной составляющей погрешности ( ) имеет тот же вид и описывается аналогичным соотношением (рис. 1.9)

.

Рис. 1.8

Рис. 1.9

,

где - СКО случайной погрешности ( = ).

Широкое распространение нормального закона объясняется тем, что рассеивание значений погрешностей вызывается множеством случайных факторов. Нормальный закон представляет собой симметричную кривую. Анализируя формулу и графики для нормального закона распределения, можно сделать следующие выводы:

1. Случайные погрешности, одинаковые по величине, но различные по знаку имеют одинаковую плотность вероятности т.е. встречаются одинаково часто (аксиома симметрии);

2. Малые случайные погрешности имеют большее значение ( ), т.е. встречаются чаще, чем большие (аксиома монотонного убывания плотности вероятности случайной погрешности);

3. Точка перегиба функции ( ) по оси абсцисс соответствует значению случайной погрешности, равной СКО ( ).

Так как значение определяется через истинное значение измеряемой величины, которые не известно, то по этой же причине нельзя определить и СКО. Для практического использования приведенных соотношений необходимо принять какое-то значение измеряемой величины за истинное. В качестве такого значения принимается среднее арифметическое значение ряда измерений величины , полученное из формулы

,

где - среднее арифметическое ряда измерений; - -ый результат измеряемой величины из ряда , ,…, (выборки); – число измерений в ряде (объём выборки).

Зная среднее арифметическое, можно определить значение остаточных погрешностей (случайных отклонений)

.

При достаточно большом числе измерений ( ∞), ,  .

Правильность подсчета и проверяют, используя свойство остаточных погрешностей .

При принятых допущениях для определения точности ряда измерений вычисляют оценку СКО по формуле Бесселя, которую называют средним квадратическим отклонением ряда измерений:

.

Для данной серии из измерений среднее арифметическое является функцией результатов отдельных измерений , ,…, . Если провести новую серию из измерений, то вследствие влияния отдельных факторов на результаты измерений значения второй серии будут отличаться от первой серии. Следовательно, новое значение и будут другим. Поэтому , получаемое в одной серии измерений (из одной выборки) является случайным приближением к . Величина получаемого при этом разброса значений и определяется с помощью оценки среднеквадратического отклонения среднего арифметического, которое можно определить по формуле

.

Полученные таким образом оценки , , называются точечными. Термин “оценка” обозначает, что полученные результаты , , получены по результатам ограниченной выборки объёмом n из генеральной совокупности, для которой предполагается, что n ∞. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического также называется средним квадратическим отклонением результата измерений.