2. Пуассоновское распределение

Мы предполагаем, что процесс поступления вызовов — Пуассоновский процесс и что времена пребывания в системе имеет экс­поненциальное распределение, то есть мы рассматриваем нагрузку PCT-I. Предполагается, что число каналов бесконечно, так что блокировка (перегрузка) отсутствует.

1. Диаграмма перехода состояния

Мы определяем состояние системы [/] как число занятых каналов i (/ = 0, 1,2,...).

На рис. 7.1 все состояния системы даны в виде окружностей и дуг от одного состояния до другого состояния, на которых показано значение интенсивности. Этот процесс простой (секция 5.1). Мы рассматриваем только переходы в соседние состояния.

\ X А, X Л.

И 2ц (/- 1)ц /ц 0'+1)ц

Рисунок 7.1. Пуассоновское распределение. Диаграмма перехо­дов состояний схематически изображает переходы для системы с бесконечным числом каналов, Пуассоновским потоком вызовов (Я) и экспоненциально распределенными временами пребывания в системе (ц)

Если мы предполагаем, что система находится в статистическом равновесии, то система будет находиться в состоянии [/] в течение опреде­ленного времени, пропорционального p(i), где p(i) — вероятность суще­ствования системы в состоянии [/] в случайный момент времени. Когда процесс находится в состоянии [/], он может перейти в следующий момент времени в состояние [/+1] Я раз в единицу времени или в состояние [/-1] / ц раз в единицу времени. В момент перехода из состояния в состояние процесс покидает состояние [/]. Будущее развитие диаграммы состояний зависит только от существующего состояния, а не от того, как процесс прибыл в это состояние (Марковское свойство).

Уравнения, описывающие состояние системы, согласно предполо­жению о статистическом равновесии могут быть получены двумя способа­ми, которые основаны на принципе глобального равновесия.

а. Уравнения узла

В статистическом равновесии число переходов в состояние [/] в еди­ницу времени равно числу переходов из состояния [/]. Вероятность состо­яния равновесия р (/) обозначает соотношение времени (отношение всего времени процесса к отношению в единицу времени), когда процесс нахо­дится в состоянии [/]. Среднее число переходов из состояния [0] в состоя­ние [1] равно X х р(0), в единицу времени, и среднее число переходов из

состояния [1] в состояние [0] — р х/>( 1) в единицу времени. Для состояния [/] мы получаем следующее равновесие или уравнение равновесия:

к-р(0) = v-p( 1), 1 = 0, (7.2)

X'p{i- 1) + (/ + 1) \X'p(i+\) = ( Х+/ц) •/»(/), />0. (7.3)

Уравнения узла также всегда применимы для диаграмм перехода, где от одного состояния можно перейти в одно из нескольких состояний (несколько измерений), которые мы рассмотрим в более поздних лекциях.

б. Уравнения сечения

Во многих случаях мы можем применять простую структуру диа­граммы перехода состояния. Применим фиктивное сечение, напри­мер, между состоянием [/—1] и [/] (т.е. выделяем переходы от состояния [0],[1],...., [/-1]). Затем рассматриваем статистическое равновесие нагруз­ки от состояния [г—1 ] к [/] и изменение от состояния [/'] к [/-1 ]. В статисти­ческом равновесии мы, таким образом, имеем в единицу времени:

к • p(i- 1) = /ц • p(i), *'=1,2, (7.4)

Уравнения сечения, прежде всего, используются для одномерных диаграмм перехода состояния, тогда как уравнения узла применимы к любой диаграмме.

Так как система всегда будет в некотором состоянии, мы имеем нор­мализующее ограничение:

00

£/»(/) = 1, Р(0> 0. (7.5)

(=0

Можно заметить, что уравнения узла (7.3) включают три вероятности состояния, тогда как уравнения сечения (7.4) включают только две. Поэтому уравнения сечения решаются проще. Система с потерями всегда может перейти в состояние статистического равновесия, если процесс поступле­ния вызовов независим от состояния системы. Математические условия для статистического равновесия в этой лекции не рассматриваются.