Краткие итоги

• Пуассоновский процесс — самый важный точечный процесс. Позже мы поймем, что его роль среди точечных процессов столь же фунда­ментальная, как роль нормального распределения среди статистиче­ских распределений.

• Фундаментальные свойства Пуассоновского процесса: стационар­ность, независимость (отсутствие последействия) и простота (орди­нарность). Пуассоновский процесс, обладающий всеми тремя свой­ствами, называется простейшим.

• Числовое представление Пуассоновского процесса: число событий в пределах временного интервала фиксированной длины имеет Пуассоновское распределение.

• Представление с помощью интервала Пуассоновского процесса: интервал времени X. (5.2) между последовательными событиями является экспоненциально распределенным.

• Существенный шаг в развитии Пуассоновского распределения - получение вероятности /?(0, Г), которая является вероятностью непо­ступления заявки в пределах временного интервала длины t, то есть вероятности, что первое поступление заявки произойдет позже, чем t.

• Время поступления точно к событий определяется суммой к неза­висимо экспоненциально распределенных случайных переменных. Распределение этой суммы — это к-распределение Эрланга.

• Вероятность /-го поступления заявки в пределах временного интер­вала t p(i, t)

V.

• Пуассоновское распределение может быть получено из биноминаль­ного процесса, если число испытаний п стремится к бесконечности.

• Суперпозиция многих независимых точечных процессов дает в резуль­тате полный локальный Пуассоновский процесс.

• Прерываемый Пуассоновский процесс можно рассматривать как процесс поступления вызовов в систему с переключателем на систе­му перегрузки.

Лекция 7. Система с потерями и в-формула Эрланга

В этой и следующих лекциях мы рассмотрим классическую теорию теле­трафика, разработанную Эрлангом (Дания), Энгсетом (Норвегия) и Фраем и Молина (США). Она успешно применялась в течение более чем 80 лет. В этой лекции мы рассматриваем фундаментальную В-формулу Эрланга.

В секции 7.1 мы рассматриваем предпосылки для построения модели. Секция 7.2 имеет дело со случаем наличия бесконечного числа каналов, которая приводит к распределению Пуассона занятых каналов. В секции 7.3 мы рассматриваем ограниченное число каналов и получаем усеченное Пуассоновское распределение и В-формулу Эрланга. В секции 7.4 мы опи­сываем стандартные процедуры для работы с диаграммами перехода состоя­ний. Это — ключ к классической теории телетрафика. Мы также получаем точную рекурсивную формулу для числовой оценки В-формулы Эрланга (в секции 7.5). Наконец, в секции 7.6 мы изучаем основные принципы изме­рения нагрузки и ищем оптимальный баланс между уровнем обслуживания (GoS) и затратами системы.

1. Введение

В-формула Эрланга основана на модели, которая содержит три эле­мента: структура, стратегия и нагрузка (рис. 1.1).

а. Структура. Мы рассматриваем систему из п идентичных обслужива­ющих приборов (серверы, каналы, слоты), работающих параллельно. Это называется гомогенной группой.

б. Стратегия. Вызов, достигая системы, принимается для обслужива­ния, если, по крайней мере, один канал свободен. Каждый вызов использует один и только один канал. Мы говорим, что группа имеет полную доступность. Часто используется термин полная готовность, но эта терминология будет использоваться только для случаев опре­деления надежности соединения. Если все каналы заняты, система переполняется, и попытка вызова блокируется. Это блокированный вызов (отклоненный, потерянный) называется попыткой и исчезает из системы без всяких последствий. Последствия могли быть, если бы была принята стратегия с альтернативными маршрутами. Это стратегия — самая важная и применялась успешно много лет.

Она называется системой с потерями Эрланга или с явными потерями вызовов (LCC Lost Calls Cleared).

в. Нагрузка. Мы принимаем, что времена обслуживания являются экспоненциально распределенными с интенсивностью ц (соот­ветствующим математическим ожиданием 1/ц). Процесс поступле­ния вызовов — Пуассоновский процесс со скоростью X . Этот тип

нагрузки называется чистая Случайная Нагрузка Один (PCT-I — Риге Chance Traffic type One). Процесс нагрузки тогда становится простым Марковским процессом «гибели и размножения», который имеет про­стое математическое описание.

Определение предложенной нагрузки. Мы определяем предложенную нагрузку как нагрузку, которая поступает при бесконечном числе каналов (емкости) (2.2). В Эрланговской системе с потерями и Пуассоновским потоком вызовов это определение предложенной нагрузки, эквивалентно тому, что математическое ожидание поступления вызова за время пребы­вания в системе равно: '

А=Х--= (7.1)

И ц

Мы рассматриваем два случая:

1. п-Г: Пуассоновское распределение (секция 7.2),

2. п < Г: Усеченное Пуассоновское распределение (секция 7.3).

Мы увидим позже, что эта модель нечувствительна к распределению времени пребывания в системе, то есть д ля вероятностей состояния важно только среднее время пребывания в системе. Тип распределения не имеет никакого значения для вероятностей состояния.

Критерии качества работы. Самые важные показатели уровня обслу­живания для систем с потерями - потери по времени Е, потери по вызо­вам В и потери по нагрузке С. Все они равны между собой для системы с потерями Эрланга, поскольку в ней процесс поступления вызовов явля­ется наблюдаемым за среднее время Пуассоновским потоком (свойство PASTA - Poisson Arrival See Time Average, секция 6.3). Наиболее важные из этих свойств:

1. Пуассоновское поступление заявок происходит в случайные момен­ты времени;

2. поступление нескольких заявок однородно распределено по интер­валу;

3. число заявок, которые уже находятся в системе, не влияет на процесс поступления вызовов.