Этот подход является статическим и не подчеркивает фундаменталь­ные свойства Пуассоновского процесса, который основан на динамических свойствах. Однако такой подход определяется отношениями между двумя процессами, как это проиллюстрировано в таблице 6.1.

Таблица 6.1. Соответствие между распределениями биноминального процесса и Пуассоновского процесса. Успех соответствует событию или поступлению заявки в точечный процесс. Математическое ожи­дание =m_v дисперсия =о². Для геометрического распределения мы можем начинать с числа попыток, равного 0. Математическое ожи­дание тогда уменьшается, а дисперсия остается той же самой

БИНОМИНАЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС Дискретное время Вероятность успеха: р, ()</>< I	ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС Непрерывное время Интенсивность успеха: X, Х>0
Число попыток, начиная с предыдущего успеха или начиная со случайной попытки получить успех	Интервал между двумя успехами или от случайной точки до следующего успеха
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ р(п)= р-(\ -р)п~1, « = 1,2,... 1 2 1 - р т 1 = —, ст = —s— Р Р2	ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ /(/)= X-e~h , t> 0 1 2 1 т'=Х’ °=Х2
Число попыток получить к успехов	Временной интервал до к' того успеха
ПАСКАЛЬ-ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ БИНОМИНАЛЬНОЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ. р(п\к) = и* к т - к „2_ *(1-/0 /Я 1 ) (7 у р р1	РАСПРЕДЕЛЕНИИЕ ЭРЛАНГА К-ОГО ПОРЯДКА (1 М-' fWk)= -Я-е~ц, t> 0 к , к mi = T’ а =
Число успехов в п попытках	Число успехов во временном интервале t
БИНОМИНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ р(х\п)=(^рх{\-р)п-*, х = 0,1,... т\ = рп , а2 = рп • (1 -р)	ПУАССОНОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ f(x 11) = ■ еГ1', t > 0 nt[ = Xt , а2 = Xt

Экспоненциальное распределение — единственное непрерывное рас­пределение с отсутствием памяти, и геометрическое распределение — единственное дискретное распределение с отсутствием памяти. Например, следующий результат броска игральной кости не зависит от предыдущего результата. Распределение этих двух процессов показано в таблице 6.1.

3. Свойства Пуассоновского процесса

В этой секции мы покажем некоторые фундаментальные свойства Пуассоновского процесса. При рассмотрении физической модели в секции 6.2 мы видели, что Пуассоновский процесс — самый случайный точечный процесс, который может быть найден (процесс с максимальным беспорядком). Это дает возможности хорошо описать физические процес­сы и много различных факторов всего процесса.

1. Теорема Пальма (теорема Суперпозиции)

Фундаментальные свойства Пуассоновского процесса среди всех дру­гих точечных процессов были сначала рассмотрены шведом К. Пальмом. Он показал, что экспоненциальные распределения играют для стохасти­ческих точечных процессов ту же самую роль (например, распределение времени интервала), где точечные процессы представлены суперпозици­ей, как это делается при нормальном распределении, когда стохастиче­ские переменные складываются (центральная предельная теорема).

Процесс I

Процесс 2					I*-!	f		f ►
Процесс п							К		1^ r
Весь процесс	Г I I I I *—kJ		г i i i i k—		<	T I I I I < sk	S i	T 1 1 1 1	* ►

Случайные точки времени

Рисунок 6.5. В результате суперпозиции п точечных процессов полу­чается процесс, который при некоторых предположениях является локальным Пуассоновским

3. Однородное распределение - условное свойство

В секции 6.2 мы видели, что однородное распределение в очень большом интервале соответствует Пуассоновскому процессу. Обратное свойство также правильно.

Теорема 6.3. Если для Пуассоновского процесса мы имеем п поступлений заявок в пределах интервала продолжительностью t, тогда эти поступле­ния, однородно распределены в пределах этого интервала.

Длина этого интервала может быть самостоятельной случайной переменной, если она подчиняется независимому Пуассоновскому про­цессу. Это, например, имеет место при измерении трафика с переменным интервалом измерения (лекция 15). Можно показать верность утвержде­ния и для Пуассоновского распределения (числовое представление), и для экспоненциального распределения (представление интервала).

3. Обобщение стационарного Пуассоновского процесса

Пуассоновский процесс был обобщен многими способами. В этой секции мы рассматриваем только прерывистый Пуассоновский процесс и дальнейшие обобщения: MMPP (Markov Modulated Poisson Processes — мар­ковские процессы, модулируемые Пуассоновскими процессами) и МАР (Markov Arrival Processes — марковские Процессы поступления вызовов).