Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть события H₁, H₂, ..., Н_n образуют полную группу. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности или средней вероятности:

,

т.е. вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А.

Пример 1. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% — из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II — 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

Решение. Взятие детали можно разбить на два этапа.

Первый — это выбор цеха. Имеется две гипотезы: Н₁ — деталь изготовлена I цехом, H₂ -II цехом.

Второй этап — взятие детали. Событие А — взятая наудачу деталь стандартна. Очевидно, события Н₁ и H₂ образуют полную груп­пу, P(Н₁) = 0,4 и Р(H₂) = 0,6. Числа 0,90 и 0,95 являются условными вероятностями события А при условии гипотез H₁ и H₂ соответствен­но, т.е. Р(АН₁) = 0,90 и Р(АН₂) = 0,95. По формуле находим:

.

Пример 2. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету)?

Решение. Обозначим через А событие – извлечен белый шар. Возможны следующие предположения о первоначальном составе шаров: В₁ – белых шаров нет, В₂ – один белый шар, В₃ – два белых шара. Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна , т.е. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, .

- 8 –

Аналогично , если первоначально в урне был один белый шар, и , если первоначально в урне было два белых шара.

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

.

Пусть события H₁, H₂, ..., Н_n образуют полную группу событий. Тогда условная вероятность события Н_к (к = 1,..,n) при условии, что событие А произошло, задается формулой

где Р(А) = P(A₁) • P(A|H₁) + ... + Р(Н_n)  Р(А|Н_n) — формула полной вероятности. Данная формула называется формулой Байеса или теоремой гипотез.

Пример 3. В примере 1 найдем вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена II цехом.

Решение. Определим вероятность гипотезы H₂ при условии, что событие А (взятая деталь стандартна) уже произошло, т.е. Р(H₂А): Р(H₂) = 0,6; Р(АН₂) = 0,95; Р(А) = 0,93 тогда по формуле Байеса находим:

.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй — 0,10. Из­вестно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что вышла из строя первая микросхема?

2. Из 40 экзаменационных билетов студент П выучил только 30. Ка­ким выгоднее ему зайти на экзамен, первым или вторым?

3. Известно, что 90% изделий, выпускаемых данным предприятием, отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продук­ции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и нестандартную с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что: а) взятое наудачу изделие пройдет контроль; б) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту?

- 9 –

4. Из урны, содержащей 1 белый и 3 черных шара, переложен 1 шар в урну с 3 белыми и 1 черным шаром, после чего из второй урны был вынут 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

5. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,3. После стрельбы в мишень оказалась одна пробоина. Какова вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку?

6. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя?

7. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки?

8.В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 – на заводе №2 и 18 – на заводе №3.Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1, отличного качества, равна 0,9; на заводах № 2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9.Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества?

9. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

10. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым?

11. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом?

- 10 -

12. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина?

13. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед?

14. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.

15. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятность отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.