2.2. Модифицированный метод Форда

Этот метод предназначен для нахождения критического пути на сетевом графе (сети). Сеть представляет собой связный бесконтурный орграф G = (X, U) с произвольными весами дуг l(x_i, x_j), имеющий только одну входную вершину (источник) s Î X, удовлетворяющую условию Г^-1(s) = Ø, и одну выходную вершину сток t Î X, для которой Г(t) = Ø.

Сущность метода заключается в одновременном определении для каждой вершины x_i графа максимального расстояния l(x_i) от источника s и максимального расстояния g(x_i) до стока t. Сумма значений l^*(x_i) и g^*(x_i) показывает длину максимального пути от s до t, который проходит через вершину x_i. Отсюда длина критического пути m[s, t] в сети определяется как

Важной особенностью модифицированного метода Форда является отсутствие требования правильной нумерации вершин графа, так как на каждой итерации просматриваются не вершины, а дуги сети. Формальная схема алгоритма приводится ниже.

Алгоритм 2.2 (поиск критического пути

модифицированным методом Форда)

Данные: сеть G = (X, U) c n вершинами и m дугами, где s - входная и t - выходная вершины сети.

Результаты: длины l^*(x_i) и g^*(x_i) максимальных путей m[s, x_i] и m[x_i, t], где i = , соответственно.

Шаг 1 (присвоение начальных значений)

Определить начальные значения l⁽⁰⁾(x_i) = 0, g⁽⁰⁾(x_i) = 0 для всех вершин x_{i Î} X. Установить номер итерации k = 1.

Шаг 2 (итерационный процесс)

Для всех дуг сети вычислить новые значения пометок вершин x_i и x_j:

(2.2)

где l¢(x_i) и g¢(x_j) - предыдущие значения пометок.

Шаг 3 (проверка условий окончания)

а) Если k = n, то переход к шагу 4.

б) Если k < n и для всех выполняются условия:

,

то переход к шагу 4. Иначе присвоить k = k + 1 и переход к шагу 2.

Шаг 4 (получение результатов)

Присвоить l^*(x_i) = l^(k)(x_i) и g^*(x_i) = g^(k)(x_i) для всех x_{i Î} X. Конец алгоритма.

За один просмотр дуг сети на шаге 2 значения l(x_i) и g(x_i) для одной и той же вершины могут изменяться многократно (в случае │Г^-1(x_i)│ > 1 или │Г(x_i)│ > 1). Если в результате выполнения очередной итерации хотя бы одна пометка любой вершины принимает новое значение, то процесс повторяется. В предельном случае число итераций может достигать значения n. Поэтому вычислительная сложность алгоритма 2.2 оценивается как O(nm) операций.

Модифицированный метод Форда является наиболее универсальной процедурой, так как его результаты определяют длину критического пути m[s, t], а также одновременно длины максимальных путей m[s, x_i] и m[x_i, t] для каждой вершины x_i сети. Построение любого из указанных путей производится с использованием соотношения (1.2).

Пример 2.1. Применение алгоритма 2.2 демонстрируется для сети G = (X, U), заданной в виде списка дуг и показанной на рис. 2.1.

Результаты работы алгоритма 2.2 представлены в табл. 2.1, где используются следующие обозначения: l_i = l(x_i); g_i = g_i(x_i). На первой и второй итерациях пометки вершин несколько раз принимают новые значения, поэтому таблица содержит соответствующее число столбцов. На третьей итерации пометки не изменяются, а длина критического пути определяется как l^*(x₇) = g^*(x₁) = 26.

i	1	2	4	1	1	1	3	4	3	2	6	5
j	6	7	3	4	3	2	5	5	7	6	7	7
l(xi, xj)	2	6	10	9	5	4	3	8	7	5	3	1

Рис.2.1. Сеть и ее список дуг для примера 2.1

Таблица 2.1

Результаты применения алгоритма 2.2 для примера 2.1

Номер вершины	Номер итерации
	k = 1							k = 2					k = 3
	li	gi	li	gi	li	gi	li		gi	li	gi	li		gi
1 2 3 4 5 6 7	0 4 10 9 13 2 6	2 6 3 10 1 3 0	0 4 10 9 17 9 17	19 6 7 10 1 3 0	0 4 10 9 17 9 18	19 6 7 10 1 3 0	0 4 19 9 22 9 18		19 6 7 17 1 3 0	0 4 19 9 22 9 26	26 6 7 17 1 3 0	0 4 19 9 22 9 26		26 6 7 17 1 3 0

В заключение следует отметить, что модифицированный метод Форда можно использовать для решения задачи поиска кратчайших путей. Для этого в формулах (2.2) операцию max следует заменить на min.

У П Р А Ж Н Е Н И Я

2.11. Модифицированным методом Форда найти критический путь в графе, представленном на рис. 1.7.

2.12. Составить программу поиска экстремальных путей по алгоритму 2.2.

2.13. Решить задачу из упражнения 1.39 модифицированным методом Форда и сравнить полученные результаты.

2.14. Для графа на рис.1.8 определить пути максимальной длины от x₁ до всех других вершин.