1.3. Метод Форда - Беллмана

Данный метод обеспечивает нахождение кратчайших путей m[s, x_i] между источником s и всеми другими вершинами x_{i Î} X \ s для ориентированного графа G = (X, U), в котором отсутствуют контуры суммарной отрицательной длины. Веса дуг l(x_i, x_j) могут иметь любые значения. Метод является итерационным и основан на изменении пометок вершин графа, причем значения (x_i) в конце k-й итерации равны длинам таких кратчайших путей m[s, x_j], которые содержат не более k + 1 дуг.

Ниже приводится формальная схема алгоритма, реализующая метод Форда - Беллмана.

Алгоритм 1.1 (метод Форда - Беллмана)

Данные: орграф G = (X, U), имеющий n вершин, с выделенным иcточником s Î X; веса дуг l(x_i, x_j) для всех (x_i, x_j) Î U.

Результаты: длины l*(x_i) кратчайших путей m[s, x_i] для всех x_{i Î} X \ s.

Шаг 1 (присвоение начальных значений)

Установить номер итерации k = 0. Определить множество вершин S = Г(s). Присвоить начальные значения пометкам:

Шаг 2 (обновление пометок вершин)

Для каждой вершины x_j ÎГ(S) изменить пометку:

,

где .

Пометки вершин x_{j Ï} Г(S) не изменять и присвоить

.

Шаг 3 (проверка условий окончания)

а) Если k £ n - 1 и для всех x_{i Î} X, то получен оптимальный результат , i = . Конец алгоритма.

б) Если k < n - 1 и хотя бы для одной вершины x_i Î X, то выполнить переход к шагу 4.

в) Если k = n - 1 и для некоторой x_i Î X, то в графе G существует цикл суммарной отрицательной длины и задача не имеет решения. Конец алгоритма.

Шаг 4 (подготовка к следующей итерации)

Определить множество S следующим образом:

.

Изменить номер итерации k = k + 1 и выполнить переход к шагу 2.

Следует отметить, что на шаге 2 множество S содержит все вершины x_i графа, для которых кратчайшие пути m[s, x_i] состоят из k дуг. Множество T_j определяет вершины из множества S, связанные дугами с x_j. Если x_j Ï Г(S), то кратчайший путь из s в x_j не может состоять из k + 1 дуг и поэтому пометки таких вершин l(x_j) изменять не требуется. На шаге 4 новое множество S содержит все вершины, кратчайшие пути до которых содержат k + 1 дуг.

Представленный алгоритм обеспечивает получение оптимального решения. Доказательство приводится в работах [6, 10] и базируется на принципах динамического программирования и том факте, что если не существует никакого оптимального пути из k дуг, то не может также существовать никакого оптимального пути, содержащего k + 1 дуг.

Вычислительная сложность метода Форда - Беллмана имеет оценку О(n³), т. е. в случае полного связного графа с n вершинами требуется порядка n³ операций сложения и сравнения. Алгоритм 1.1 можно использовать и в случае неотрицательных весов дуг, но более предпочтительным является применение алгоритма Дейкстры, так как его оценка трудоемкости составляет О(n²) операций.

Пример 1.1. Применение метода Форда - Беллмана для графа G = (X, U), приведенного на рис. 1.2 и заданного матрицей D (см. упражнение 1.12), показано в табл. 1.2. Предполагается, что источником s является вершина x₁. Окончательные значения пометок l*(x_i) равны 0, 1, 4, 3, -1 для вершин x_i, , соответственно. Кратчайшие пути m[s, x_i], где s = x₁ и , получены с использованием соотношения (1.2). Результаты решения задачи, включая дерево кратчайших путей, представлены на рис. 1.3.

Рис. 1.2. Представление графа для примера 1.1

У П Р А Ж Н Е Н И Я

1.15. Определить особенности графовых моделей, для которых может применяться метод Форда - Беллмана.

1.16. Какое наибольшее число итераций может потребоваться при работе алгоритма 1.1? Изменится ли это значение, если веса всех дуг графа будут неотрицательными?

1.17. Решить задачу построения кратчайших путей m[x₂, x₅] и m[x₅, x₂] для графа, показанного на рис. 1.2.

1.18. Разработать подпрограммы формирования множеств S, Г(S) и T_j для x_jÎ Г(S).

1.19. Разработать подпрограммы вычисления меток вершин и проверки условий окончания итерационного процесса для метода Форда -Беллмана.

1.20. Модифицировать алгоритм 1.1 таким образом, чтобы для построения кратчайших путей использовать пометки вида [l*(x_j), m_j], описанные в предыдущем разделе.

Таблица 1.2

Результаты работы алгоритма Форда - Беллмана (пример 1.1)

Итерация	Множество S	Множество Г(S)	Вершина	Множество Ti	Пометка l(xi)
k = 0	{x2, x5}		s = x1 x2 x3 x4 x5		0 1 ¥ ¥ 3
k = 1	{x2, x5}	{x2, x3, x4, x5}	x1 x2 x3 x4 x5	{x5} {x2} {x2 ,x5} {x2}	0 min(1, 3+8) = 1 min(¥, 1+3) = 4 min(¥, 1+3, 3+4) = 4 min(3, 1+8) = 3
k = 2	{x3, x4}	{x3, x4, x5}	x1 x2 x3 x4 x5	{x4} {x3} {x3}	0 1 min(4, 4+2) = 4 min(4, 4+1) = 4 min(3, 4-5) = -1
k = 3	{x5}	{x2, x4}	x1 x2 x3 x4 x5	{x5} {x5}	0 min(1, -1+8) = 1 4 min(4, -1+4) = 3 -1
k = 4	{x4}	{x3}	x1 x2 x3 x4 x5	{x4}	0 1 min(4, 3+2) = 4 3 -1

1.21. Решить задачу из примера 1.1 по алгоритму, полученному при выполнении упражнения 1.20.

1.22. Составить программы поиска кратчайших путей по методу Форда - Беллмана для двух способов построения путей (см. раздел 1.2).

Рис. 1.3. Результаты поиска путей (пример 1.1)

1.23. Получить (машинное) решение задачи вычисления длин кратчайших путей m[x₁, x_j], , для графа, показанного на рис. 1.4.

Ответ: вектор значений l*(x_i), , имеет следующий вид:

(0, -3, -11, -5, 2, -7, -1, 13, 16).

Рис. 1.4. Представление графа для упражнения 1.23