Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?!

Такое мнение и такой настрой в корне неверен, потому-что на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО. Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл, тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Потому что придется много интегрировать. И дифференцировать. Также настоятельно рекомендую научиться находить производную от функции, заданной неявно.

В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в таком порядке. Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал – частное интегрирование.

Сначала вспомним обычные уравнения. Они содержат переменные и числа. Простейший пример: . Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найти множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение  имеет единственный корень: . Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение:  – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Диффуры устроены примерно так же!

Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит: 1) независимую переменную ; 2) зависимую переменную  (функцию); 3) первую производную функции: .

В некоторых случаях в уравнении первого порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек» – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – ,  и т.д.

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Полный боекомплект. С чего начать решение любого дифференциального уравнения первого порядка?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение производной: . Такое обозначение производной многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным, но в диффурах рулит именно оно!

Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде:

На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы  и  – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные: Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу  достаточно записать один раз. Почти всегда её приписывают в правой части.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть,  – это общий интеграл.

Теперь нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном виде.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях. Когда в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно записать тоже под логарифмом.

То есть, вместо записи  обычно пишут .

Здесь  – это такая же полноценная константа, как и . Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем школьное свойство логарифмов: . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать с обеих частей:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций  является общим решением дифференциального уравнения .

Придавая константе  различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций , ,  и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение   – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

Многие дифференциальные уравнения довольно легко проверить. Делается это очень просто, берём найденное решение  и находим производную:

Подставляем наше решение  и найденную производную  в исходное уравнение :  – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение  удовлетворяет уравнению .

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях.

1) В этом примере нам удалось разделить переменные: . Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка, необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать,  кроме того, существуют неберущиеся  интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют. …тьфу, lurkmore.ru давеча начитался.

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения.

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если  – это константа, то  – тоже некоторая константа, которую обозначим через букву : Запомните «снос» константы, это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку: То есть,

Стандартная версия оформления:

В общее решение  подставляем найденное значение константы :  – это и есть нужное нам частное решение.

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа.

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение  удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:  – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение  и находим производную:

Подставляем  и  в исходное уравнение :

 – получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Переходим к более содержательным примерам.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:

В правой части у нас получился логарифм, согласно моей первой технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. Максимально «упаковываем» логарифмы. Упаковка проводится с помощью трёх свойств:

Пожалуйста, перепишите эти три формулы к себе в рабочую тетрадь, при решении диффуров они применяются очень часто.

Решение распишу очень подробно:

Упаковка завершена, убираем логарифмы:

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части. Но делать этого не нужно.

Третий технический совет: Если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и ужасно – с большими корнями, знаками .

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить общий интеграл в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора ;-)

Ответ: общий интеграл:

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производные от функции, заданной неявно. Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на :

И делим на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что задача Коши состоит из двух этапов: 1) Нахождение общего решение. 2) Нахождение частного решения.

Проверка тоже проводится в два этапа (см. также образец Примера 2), нужно: 1) Убедиться, что найденное частное решение действительно удовлетворяет начальному условию. 2) Проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы  и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:

(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы  в общее решение.

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :  – всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение  дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение:  – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной  выразить дифференциал : Подставим найденное частное решение  и полученный дифференциал  в исходное уравнение : Используем основное логарифмическое тождество : Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения  выразим производную, для этого разделим все штуки на :

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение  и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение . Ответ представить в виде общего интеграла .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

1) Не всегда очевидно (особенно, чайнику), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки:  и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно.

2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть интегралы будут посложнее».

3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно делать практически всё, что угодно. И не всегда такие преобразования понятны новичку. Рассмотрим еще один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа  – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .

Беда же состоит в том, что частенько не заморачиваются с индексами, и используют одну и ту же букву . И в результате запись решения принимает следующий вид:

Что за фигня? Тут же ошибки. Формально – да. А неформально – ошибки нет, подразумевается, что при преобразовании константы  всё равно получается какая-то другая константа .

Или такой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому целесообразно сменить у всех множителей знаки: . Формально по записи тут опять ошибка, следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что  – это всё равно какая-то другая константа (тем более  может принимать любое значение), поэтому смена у константы знака не имеет никакого смысла и можно использовать одну и ту же букву .

Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем: Константу  тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл:

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию): Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на : Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 8

Найти частное решение ДУ. , 

Это пример для самостоятельного решения. Единственный комментарий, здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, а частный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока.

Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать примеры №№9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях.

Пример 9

Решить дифференциальное уравнение

Пример 10

Решить дифференциальное уравнение

Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов.  Краткий ход решения и ответы в конце урока.

Пример 4: Решение: Найдем общее решение. Разделяем переменные: Интегрируем: Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Выражаем функцию в явном виде, используя . Общее решение:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»: . Способ второй: Подставляем найденное значение константы  в общее решение. Ответ: частное решение: Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие: , да, начальное условие  выполнено. Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение  дифференциальному уравнению. Сначала находим производную: Подставим полученное частное решение  и найденную производную  в исходное уравнение : Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 6: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Ответ: общий интеграл:

Примечание: тут можно получить и общее решение: Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно хреново.

Пример 8: Решение: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:   Интегрируем: Общий интеграл: Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение  и : Ответ: Частный интеграл: В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное.

Пример 9: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Левую часть интегрируем по частям: В интеграле правой части проведем замену: Таким образом: (здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно) Обратная замена: Ответ: общий интеграл:

Пример 10: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем: Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Примечание: Интеграл  можно было также найти методом выделения полного квадрата. Ответ: общее решение:

По школьным предметам. Подготовка к ЕГЭ По высшей математике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену Определенный интеграл. Примеры решений И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление будет кратким. Всё. Потому что снежная метель за окном.  Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо: 1) Уметь находить неопределенные интегралы. 2) Уметь вычислить определенный интеграл. Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений. В общем виде определенный интеграл записывается так: Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования. Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой . Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой . Отрезок  называется отрезком интегрирования. Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое «факью» по определенному интегралу. Что такое определенный интеграл? Я бы мог вам рассказать про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т.д., но урок носит практический характер. Поэтому я скажу, что определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число. Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. И очень хороший. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла. Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число. Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница: Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока. Этапы решения определенного интеграла следующие: 1) Сначала находим первообразную функцию  (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа  в определенном интеграле никогда не добавляется. Обозначение   является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ?  Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница. 2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: . 3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: . 4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число. Готово. Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда. Например, интеграла  не существует, поскольку отрезок интегрирования  не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует, так как в точках ,  отрезка  не существует тангенса. Кстати, кто еще не прочитал методический материал Графики и основные свойства элементарных функций – самое время сделать это сейчас. Будет здорово помогать на протяжении всего курса высшей математики.   Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, необходимо чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования. Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования. По студенческой молодости у меня неоднократно бывал казус, когда я подолгу мучался с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находил, то ломал голову еще над одним вопросом: «что за ерунда получилась?». В упрощенном варианте ситуация выглядит примерно так: ???! Нельзя подставлять отрицательные числа под корень! Что за фигня?! Изначальная невнимательность. Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен  несуществующий интеграл вроде , то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему. Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будет несобственный интеграл, коим отведена отдельная лекция. Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования? Может, и такая ситуация реально встречается на практике.  –  интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница. Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла. В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак: Например, в определенном интеграле перед интегрированием  целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:  – в таком виде интегрировать  значительно удобнее. Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:  – это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций. В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим. Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям: Пример 1 Вычислить определенный интеграл Решение: (1) Выносим константу за знак интеграла. (2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу  целесообразно отделить от  и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления? (3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в  верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ. Пример 2 Вычислить определенный интеграл Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока. Немного усложняем задачу: Пример 3 Вычислить определенный интеграл Решение: (1) Используем свойства линейности определенного интеграла. (2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела. (3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница: СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом:  – первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут  (особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример. Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, я сам привык решать подобные интегралы так: Здесь я устно использовал правила линейности, устно проинтегрировал по таблице. У меня получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов:  (в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию, я сначала подставил сначала 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме. Какие недостатки у короткого способа решения? Здесь всё не очень хорошо с точки зрения рациональности вычислений, но лично мне всё равно – обыкновенные дроби я считаю на калькуляторе. Кроме того, существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, таким образом,  студенту-чайнику лучше использовать первый способ, при «моём» способе решения точно где-нибудь потеряется знак. Несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная  находится в одной скобке. Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно? Так, применительно к рассматриваемому примеру: перед тем, как в первообразную функцию   подставлять верхний и нижний пределы, желательно на черновике проверить, а правильно ли вообще найден неопределенный интеграл? Дифференцируем: Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден верно. Теперь можно и формулу Ньютона-Лейбница применить. Такая проверка будет не лишней при вычислении любого определенного интеграла. Пример 4 Вычислить определенный интеграл Это пример для самостоятельно решения. Попробуйте решить его коротким и подробным способом. Замена переменной в определенном интеграле Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Таким образом, если с заменами у Вас не очень, следует внимательно ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле. В этом параграфе нет ничего страшного или сложного. Единственная новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене. В примерах я постараюсь привести такие типы замен, которые еще нигде не встречались на сайте. Пример 5 Вычислить определенный интеграл Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм:  . Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально. Сначала готовим наш интеграл к замене: Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена: Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: . Выясняем, во что превратится оставшаяся часть  подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал :   По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап. Находим новые переделы интегрирования. Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену  и старые пределы интегрирования , . Сначала подставляем в выражение замены  нижний предел интегрирования, то есть, ноль: Потом подставляем в выражение замены  верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх: Готово. И всего-то лишь… Продолжаем решение. (1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования. (2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу  лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования  – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница. (3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Ответ стремимся записать в максимально компактном виде, здесь я использовал свойства логарифмов. Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо. А сейчас пара примеров для самостоятельного решения. Какие замены проводить – постарайтесь догадаться самостоятельно. Пример 6 Вычислить определенный интеграл Пример 7 Вычислить определенный интеграл Это примеры для самостоятельного решения. Решения и ответы в конце урока. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном интеграле в полной мере справедливы и для определенного интеграла. Плюсом идёт только одна деталь, в формуле интегрирования по частям добавляются пределы интегрирования: Формулу Ньютона-Лейбница здесь необходимо применить дважды: для произведения   и, после того, как мы возьмем интеграл . Тип интеграла для примера я опять подобрал такой, который еще нигде не встречался на сайте. Пример не самый простой, но очень и очень познавательный. Пример 8 Вычислить определенный интеграл Решаем. Интегрируем по частям: У кого возникли трудности с интегралом , загляните на урок Интегралы от тригонометрических функций, там он подробно разобран. (1) Записываем решение в соответствии с формулой интегрирования по частям. (2) Для произведения применяем формулу Ньютона-Лейбница. Для оставшегося интеграла используем свойства линейности, разделяя его на два интеграла. Не путаемся в знаках! (3) Берем два оставшихся интеграла. Интеграл  также разобран на уроке Интегралы от тригонометрических функций (4) Применяем формулу Ньютона-Лейбница для двух найденных первообразных. Далее ответ доводится «до ума». Повторюсь, будьте ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫ при подстановках и заключительных вычислениях. Здесь допускают ошибки чаще всего. Если честно, я недолюбливаю формулу  и, по возможности, … обхожусь вообще без нее! Рассмотрим второй способ решения, с моей точки зрения он более рационален. Вычислить определенный интеграл На первом этапе я нахожу неопределенный интеграл: Интегрируем по частям: Первообразная функция найдена. Константу  в данном случае добавлять не имеет смысла. В чём преимущество такого похода? Не нужно «таскать за собой» пределы интегрирования, действительно, замучаться можно десяток раз записывать мелкие значки пределов интегрирования На втором этапе я провожу проверку (обычно на черновике). Тоже логично. Если я неправильно нашел первообразную функцию, то неправильно решу и определенный интеграл. Это лучше выяснить немедленно, дифференцируем ответ: Получена исходная подынтегральная функция, значит, первообразная функция найдена верно. Третий этап – применение формулы Ньютона-Лейбница. И здесь есть существенная выгода! В «моём» способе решения гораздо меньший риск запутаться в подстановках и вычислениях – формула Ньютона-Лейбница применяется всего лишь один раз. Если чайник решит подобный интеграл по формуле  (первым способом), то стопудово где-нибудь допустит ошибку. Рассмотренный алгоритм решения можно применить для любого определенного интеграла. Уважаемый студент, распечатай и сохрани: Что делать, если дан определенный интеграл, который кажется сложным или не сразу понятно, как его решать? 1) Сначала находим неопределенный интеграл (первообразную функцию). Если на первом же этапе случился облом, дальше рыпаться с Ньютоном и Лейбницем бессмысленно. Путь только один – повышать свой уровень знаний и навыков в решении неопределенных интегралов. 2) Проверяем найденную первообразную функцию дифференцированием. Если она найдена неверно, третий шаг будет напрасной тратой времени. 3) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления проводим ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНО  –  тут самое слабое звено задания. И, на закуску, интеграл для самостоятельного решения. Пример 9 Вычислить определенный интеграл