Раздел 2.5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Тема: Метод Эйлера, усовершенствованный метод Эйлера-Коши с итерационной обработкой.

Необходимые сведения из теории

Общее и частное решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Задача Коши. Метод Пикара.

Понятие численного решения. Метод Эйлера.

Метод Эйлера-Коши с итерационной обработкой.

Оценка погрешности.

Задание

Используя метод Эйлера, найти численное решение дифференциального уравнения на отрезке [ a ;b ] c шагом h , удовлетворяющее начальному условию У( х₀) =У _0.

Используя метод Эйлера- Коши с итерационной обработкой, найти численное решение дифференциального уравнения на отрезке [ a ;b ] c шагом h , удовлетворяющее начальному условию У( х0) =У 0.

Варианты.

№ функция отрезок У ₀ шаг h

1 .y’ = XY ³ - X ² [ 4 ; 5 ] 0.7 0.1

2. y’ = √4 X ² +1 -3Y² [ 2.6; 4.6] 1.8 0.2

3. y’ = COS (1.5X - Y ² ) -1.3 [ - 1 ; 1 ] 0.2 0.2

4. y’ = X ² + XY + Y² [ 2 ; 3 ] 1.2 0.1

5. y’ = е ^-(Y2+1)+ 2X [ 0 ; 0.5 ] 0.3 0.05

6. y’ = COS( 1.5Y + X)² + 1.4 [ 1 ; 2 ] 0.9 0.1

7. y’ = 4.1X - Y ² +0.6 [ 0.6; 2.6 ] 3.4 0.2

8 . y’ = 1/( 1 + X ³ Y) + 2Y [ 1.5 ;2 ] 2.1 0.05

9. y’ = X + COS ( Y/ √ 11) [ 2.1 ; 3.1] 2.5 0.1

10. y’ =( 2XY ) /(X+4)-0.4 [ 3 ; 5 ] 1.7 0.2

11. y’ =2.5X + COS (Y+0.6) [ 1; 3 ] 1.5 0.2

12. y’ =X + 2.5Y ² + 2 [ 1 ; 2 ] 0.9 0.1

13. y’ =2 - SIN (X+Y) ² [ 2 ; 3 ] 2.3 0.1

14. y’ =2/( X+2)+X+1 [0.1; 0.5] 1.25 0.05

1 5. y’ =X+ COS(Y/2) [ -2; -1] 3 0.1

16. y’ =√ X 2 + 0.5 Y ² +1 [ 0; 2 ] 2.9 0.2

17. y’ = SIN (X+Y) +1.5 [ 1.5; 2.5 ] 0.5 0.1

Порядок выполнения работы

Вычислить значения функции методом Эйлера и методом Эйлера-Коши с итерационной обработкой с использованием калькулятора.

Составить программу вывода таблицы для задания №1

х	У	∆У

Составить программу вывода таблицы для задания №2

i	Xi	Yi	Y (0) i+1	Y (1) i+1	Y(2) i+1	Y (3) i+1	Y(4) i+1	y i+1

Лабораторная работа №9

Раздел. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Тема: Метод Рунге - Кутта.

Необходимые сведения из теории

1. Задача Коши. Метод Эйлера.

Метод Рунге - Кутта.

Оценка погрешности метода.

Задание

Используя метод Рунге - Кутта, найти численное решение дифференциального уравнения на отрезке [ a ;b ] c шагом h , удовлетворяющее начальному условию У( х₀) =У _0.

Варианты.

№ функция отрезок У ₀ шаг

1 . XY ³ - X ² [ 4 ; 5 ] 0.7 0.1

2. √4 X ² +1 -3Y² [ 2.6; 4.6] 1.8 0.2

3. COS (1.5X - Y ² ) -1.3 [ - 1 ; 1 ] 0.2 0.2

4. X ² + XY + Y² [ 2 ; 3 ] 1.2 0.1

5. е ^-(Y2+1)+ 2X [ 0 ; 0.5 ] 0.3 0.05

6. COS( 1.5Y + X)² + 1.4 [ 1 ; 2 ] 0.9 0.1

7. 4.1X - Y ² +0.6 [ 0.6; 2.6 ] 3.4 0.2

8 . 1/( 1 + X ³ Y) + 2Y [ 1.5 ;2 ] 2.1 0.05

9. X + COS ( Y/ √ 11) [ 2.1 ; 3.1] 2.5 0.1

10. ( 2XY ) /(X+4)-0.4 [ 3 ; 5 ] 1.7 0.2

11. 2.5X + COS (Y+0.6) [ 1; 3 ] 1.5 0.2

12. X + 2.5Y ² + 2 [ 1 ; 2 ] 0.9 0.1

13. 2 - SIN (X+Y) ² [ 2 ; 3 ] 2.3 0.1

14. 2/( X+2)+X+1 [0.1; 0.5] 1.25 0.05

1 5. X+ COS(Y/2) [ -2; -1] 3 0.1

16. √ X 2 + 0.5 Y ² +1 [ 0; 2 ] 2.9 0.2

17. SIN (X+Y) +1.5 [ 1.5; 2.5 ] 0.5 0.1

Порядок выполнения работы

Вычислить значения функции методом Рунге - Кутта с использованием калькулятора.

Составить программу вывода таблицы

i	Xi	Yi	У ’ = f(x,y)	K=h* f (x,y)	∆У

3. Сравнить результаты методов Эйлера - Коши и Рунге - Кутта.

Лабораторная работа №10

Раздел. Методы обработки экспериментальных данных

Тема: Нахождение приближенных функций по методу наименьших квадратов

Необходимые сведения из теории

Задача аналитического приближения табличных функций.

Задача приближения по методу наименьших квадратов

Алгоритм построения наилучшего многочлена по данному методу.

Уклонения, среднеквадратичное уклонение.

Задание. По заданной таблице значений переменной У и аргумента Х построить методом наименьших квадратов две различные эмпирические формулы и сравнить качество полученных приближений.

Варианты.

1.

Х	0,10	0,30	0,40	0,60	0,70	0,80
У	0,25	0,50	0,65	0,55	0,42	0,30

2.

Х	1,30	1,40	1,60	1,70	2,00	2,10
У	2,90	2,40	2,30	1,80	1,40	1,20

3.

Х	0,40	0,70	0,90	1,10	1,40	1,60
У	0,15	0,31	0,90	0,83	1,65	1,52

4.

Х	2,00	2,50	2,70	2,90	3,30	3,40
У	0,71	0,81	1,05	0,90	0,23	0,35

5.

Х	1,10	2,00	2,50	2,90	3,50	4,00
У	0,32	0,27	0,12	0,10	0,07	0,03

6.

Х	1,20	1,40	1,50	1,60	1,80	2,10
У	0,90	3,30	4,10	3,90	2,80	1,10

7.

Х	0,20	0,30	0,50	0,70	0,90	1,20
У	-2,10	-0,50	1,15	1,30	-0,60	-2,70

8.

Х	2,20	2,50	2,60	2,80	3,10	3,20
У	1,70	0,80	0,91	1,50	0,82	0,36

9.

Х	0,30	0,50	0,80	0,90	1,20	1,40
У	1,10	0,60	0,90	0,65	0,40	0,58

10.

Х	-0,40	-0,10	0,10	0,20	0,50	0,70
У	2,80	3,50	4,00	4,20	1,60	1,80

Порядок выполнения работы.

По заданной таблице составить точечный график, с помощью которого выбираются два кажущихся наиболее предпочтительными вида приближающей функции.

После выбора приближающей функции следует приступить к вычислениям, с использованием вспомогательных таблиц.

х	у	ху	х2
Мх	Му	Мху	М х2

Составить программу меню позволяющую выбрать метод нахождения приближающей функции и получения эмпирической формулы. Решить задачу двумя методами. Подсчитать соответствующую сумму квадратов отклонений. Результаты оформить в файле в виде:

F1= формула 1

F2= формула 2

Х	У	F1	ε	ε 2	F2	ε	ε 2
				Σ			Σ

Задание по теме: Решение СЛАУ методом Гаусса

Варианты заданий:

Вычислить определитель матрицы по схеме Гаусса и через миноры:

1. 1 4 1 3 2. 1 1 -2 3 3. 1 1 1 1

0 -1 3 -1 7 8 4 1 1 2 3 4

3 1 0 2 2 4 6 -3 1 3 6 10

1 -2 5 1 5 6 8 -4 1 4 10 20

Ответы: 1. 88

2. 26

3. 1

Вычислить обратную матрицу А^-1 для следующих матриц:

4. 1 3 - 4 5. 1 -3 2 6. 1 1 -1

0 1 1 3 -4 0 2 -1 1

2 - 5 3 2 -5 3 1 0 1

Ответы:

-12 -1 8 1/3 1/3 0

-9 -1 6 1/3 -2/3 1

-7 -1 5 -1/3 -1/3 1

Решить следующие системы по схеме Гаусса:

7. 8.

х₁ - 4 х₂ - х₄ = 6 2х₁ - х₃ - 2х₄ = -8

х₁ + х₂ + 2х₃ + 3х₄ = -1 х₂ + 2х₃ - х₄ = -1

2х₁ + 3х₂ - х₃ - х₄ = -1 х₁ - х₂ - х₄ = -6

х₁ + 2х₂ +3х₃ - х₄ = 3 -х₁+3х₂-2х₃ = 7

9.

2х₁ - х₂ + х₃ + 3х₄ = -1 Ответы: 7. Х₁=1, х₂=-1, х₃= 1, х₄= -1

х₁ + х₂ - х₃ - 4х₄ = 6 8. Х₁=-1, х₂=2, х₃=0, х₄= 3

3х₁ - х₂ + х₃ + х₄ = 4 9. Х₁= 1, х₂= 0, х₃=3, х₄= -2

х₁ - 3х₂ + 3х₄ = -5