Раздел 2.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Тема: Метод Зейделя.

Необходимые сведения из теории

Приведенная система уравнений, способы преобразования систем к нормальному виду.

Построение итерационной последовательности по методу Зейделя.

Условия сходимости итерационного процесса

Оценка погрешности приближенного решения

Условие окончания итерационного процесса при нахождении решения с заданной точностью.

Задание

Дана система из четырех уравнений. Методом Зейделя решить систему линейных уравнений с точностью до 0.001, предварительно оценив число необходимых для этого шагов

Варианты:

1.

х₁ = 0,23х₁ - 0,04х₂ + 0,21х₃ - 0,18х₄ + 1,24

х₂ = 0,45 х₁ - 0,23 х₂ + 0,06 х₃ - 0,88

х₃ = 0,26 х₁ + 0,34 х₂ - 0,11 х₃ + 0,62

х₄ = 0,05 х₁ - 0,26 х₂ + 0,34 х₃ - 0,12 х₄ - 1,17

2.

х₁ = 0,21 х₁ + 0,12 х₂ - 0,34 х₃ - 0,16 х₄ - 0,64

х₂ = 0,34 х₁ - 0,08 х₂ + 0,17 х₃ - 0,18 х₄ + 1,42

х₃ = 0,16 х₁ + 0,34 х₂ + 0,15 х₃ - 0,31 х₄ - 0,42

х₄ = 0,12 х₁ - 0,26 х₂ - 0,08 х₃ + 0,25 х₄ + 0,83

3.

х₁ = 0,32 х₁ - 0,18 х₂ + 0,02 х₃ + 0,21 х₄ + 1,83

х₂ = 0,16 х₁ + 0,12 х₂ - 0,14 х₃ + 0,27 х₄ - 0,65

х₃ = 0,37 х₁ + 0,27 х₂ - 0,02 х₃ - 0,24 х₄ + 2,23

х₄ = 0,12 х₁ - 0,21 х₂ - 0,18 х₃ + 0,25 х₄ - 1,13

4.

х₁ = 0,42х₁ - 0,32х₂ + 0,03х₃ + 0,44

х₂ = 0,11 х₁ - 0,26 х₂ - 0,36 х₃ + 1,42

х₃ = 0,12 х₁ + 0,08 х₂ - 0,14 х₃ - 0,24х₄ - 0,83

х₄ = 0,15 х₁ - 0,35 х₂ - 0,18 х₃ - 0,42

5.

х₁ = 0,18х₁ - 0,34х₂ - 0,12х_{3 +} 0,15х₄ - 1,33

х₂ = 0,11 х₁ + 0,23 х₂ - 0,15 х₃ + 0,32 х₄ +0,88

х₃ = 0,05 х₁ - 0,12 х₂ + 0,14 х₃ -0,18 х₄ - 1,16

х₄ = 0,12 х₁ + 0,08 х₂ + 0,06 х₃ + 0,57

6.

х₁ = 0,13х₁ + 0,23х₂ - 0,44х₃ - 0,05х4 + 2,13

х₂ = 0,24 х₁ - 0,31 х₂ + 0,15 х₃ - 0,18

х₃ = 0,06 х₁ + 0,15 х₂ - 0,23 х₃ + 1,44

х₄ = 0,72 х₁ - 0,08 х₂ - 0,05 х₃ + 2,42

7.

х₁ = 0,32 х₁ - 0,16 х₂ - 0,08 х₃ + 0,15 х₄ + 2,42

х₂ = 0,16 х₁ - 0,23 х₂ + 0,11 х₃ - 0,21 х₄ +1,43

х₃ = 0,05 х₁ - 0,08 х₂ - 0,34 х₃ - 1,16

х₄ = 0,12 х₁ + 0,14 х₂ - 0,18 х₃ + 0,06 х₄ + 1,62

8.

х₁ = 0,34х₁ + 0,23х₂ - 0,06х₄ + 1,42

х₂ = 0,11 х₁ - 0,23 х₂ - 0,18 х₃ +0,36х₄ - 0,66

х₃ = 0,23 х₁ - 0,12 х₂ + 0,16 х₃ - 0,35х₄ + 1,08

х₄ = 0,12 х₁ + 0,12 х₂ - 0,47 х₃ + 0,18х₄ + 1,72

9.

х₁ = 0,19х₁ - 0,07х₂ + 0,38х₃ - 0,21х₄ - 0,81

х₂ = -0,22 х₁ + 0,08 х₂ + 0,11 х₃ + 0,33 х₄ -0,64

х₃ = 0,51 х₁ - 0,07 х₂ + 0,09 х₃ -0,11 х₄ + 1,71

х₄ = 0,33 х₁ - 0,41 х₂ - 1,21.

10

х₁ = 0,22х₂ - 0,11х₃ - 0,44х₄ + 2,7

х₂ = 0,38 х₁ - 0,12 х₃ + 0,22 х₄ - 1,5

х₃ = 0,11 х₁ + 0,23 х₂ - 0,51 х₄ + 1,2

х₄ = 0,17 х₁ - 0,21 х₂ + 0,31 х₃ - 0,17

11.

х₁ = 0,07 х₁ - 0,08 х₂ + 0,11 х₃ - 0,18 х₄ - 0,51

х₂ = 0,18 х₁ + 0,52 х₂ + 0,21 х₄ +1,17

х₃ = 0,13 х₁ + 0,31 х₂ - 0,21 х₃ - 1,02

х₄ = 0,08 х₁ - 0,33 х₃ + 0,28 х₄ -0,28

12.

х₁ = 0,05х₁ - 0,06х₂ - 0,12х₃ + 0,14 х₄ - 2,17

х₂ = 0,04 х₁ - 0,12 х₂ + 0,08 х₃ +0,11х₄ + 1,4

х₃ = 0,34 х₁ + 0,08 х₂ - 0,06 х₃ + 0,14х₄ - 2,1

х₄ = 0,11 х₁ + 0,12 х₂ - 0,03 х₄ - 0,8

13.

х₁ = 0,08х₁ - 0,03х₂ - 0,04х₄ - 1,2

х₂ = 0,31 х₂ + 0,27 х₃ - 0,08 х₄ + 0,81

х₃ = 0,33 х₁ - 0,07 х₂ + 0,21 х₄ - 0,92

х₄ = 0,11 х₁ + 0,03 х₃ + 0,58х₄ + 0,17.

14.

х₁ = 0,12х₁ - 0,23х₂ + 0,25х₃ - 0,16х₄ + 1,24

х₂ = 0,14 х₁ + 0,34х₂ - 0,18 х₃ + 0,24 х₄ - 0,89

х₃ = 0,33 х₁ + 0,03 х₂ + 0,16х₃ - 0,32 х₄ + 1,15

х₄ = 0,12 х₁ - 0,05 х₂ + 0,15 х₄ - 0,57

15.

х₁ = 0,23х₁ - 0,14х₂ + 0,06х₃ - 0,12 х₄ + 1,21

х₂ = 0,12 х₁ + 0,32 х₂ - 0,18 х₄ - 0,72

х₃ = 0,08 х₁ - 0,12 х₂ + 0,23 х₃ + 0,32х₄ - 0,58

х₄ = 0,25 х₁ + 0,22 х₂ + 0,14 х₄ 1,56

16.

х₁ = 0,28х₂ - 0,17х₃ + 0,06х₄ + 0,21

х₂ = 0,52 х₁ + 0,12 х₃ + 0,17 х₄ - 1,17

х₃ = 0,17 х₁ - 0,18 х₂ + 0,21 х₃ - 0,81

х₄ = 0,11 х₁ + 0,22 х₂ + 0,03 х₃ + 0,05 х₄ + 0,72

Порядок выполнения работы

1. Взяв в качестве начального приближения взять вектор свободных членов системы, найти первое приближение, затем определить норму матрицы α и вектора β . Определить число итераций.

2. Найти приближенное решение системы.

3. Составить программу вычисления приближений до достижения требуемой точности с выводом результатов в таблицу:

№ итерации	Х1	Х2	Х3	Х4

4. Сравнить полученные результаты с контрольным примером.

Лабораторная работа № 6