8. Лекция. Элементы теории игр.

8.1 Основные понятия.

Теория игр - это математическая теория, исследующая конфликтные ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой. Стороны, участвующие в конфликте - игроки, а исход конфликта - выигрыш (проигрыш). Выигрыш или проигрыш может быть задан количественно.

Игра называется антагонистической или игрой с нулевой суммой, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, поэтому для полного «задания» игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока.

Стратегией игрока называется совокупность принципов, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается своей стратегии. В тоже время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии.

Такие стратегии называются оптимальными.

При выборе оптимальной стратегии следует полагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Матрица, элементы которой характеризуют выигрыш первого игрока (МЫ –игрок А) и проигрыш второго (игрок В) при их возможных стратегиях (обозначается |α_ij|), называется платежной матрицей игры.

Величина α = max min a_ij называется нижней ценой игры –

j i

гарантированный выигрыш игрока А при применении игроком В своих стратегий. Находится путем выбора минимального значения из a_ij в каждой строке платежной матрицы игры (получаем столбец) и из этих минимальных значений находится максимальное, которое и соответствует нижней цене игры α.

Величина β = min max a_ij называется верхней ценой игры –

i j

минимальный проигрыш игрока В при применении игроком А своих стратегий. Находится путем выбора максимального значения из a_ij по столбцам (получим строку) и из этих максимальных значений находится минимальное значение, которое и соответствует верхней цене игры β.

Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры γ. Цена игры удовлетворяет неравенству α ≤ γ ≥ β.Такие игры называются играми в смешанных стратегиях.

Если нижняя и верхняя цены игра совпадают, то их общее значение

α = β = γ чистой ценой игры или седловой точкой. Такие игры называются играми в чистых стратегиях.

Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность (А_iВ_j) – оптимальным решением или решением игры.

Игра, в которой интересы игроков противоположны называется антагонистичной.

В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.п.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с «природой».

Человек в играх с «природой» старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа и т.п.) действует случайно.

При решении задач, относящихся к теории игр, необходимо правильно классифицировать задачу, потому что методы, применяемые к антагонистическим играм кардинально отличаются от методов решения игр с природой.