2.2. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения
Дифференциалом
первого порядка функции
называется главная часть ее приращения,
линейно зависящая от приращения
независимой переменной
.
Дифференциал функции равен произведению ее производной и дифференциала независимой переменной
Заметим,
что с помощью этого равенства можно
производную
вычислить как отношение дифференциала
функции
к дифференциалу независимой переменной
,
т.е.
Правила вычисления
дифференциалов аналогичны правилам
нахождения производных. Для функций
,
,
справедливо:
1)
, 
2)
, (если
х
– независимая переменная)
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
Пример.
Найти
дифференциал функции
Решение.
Находим производную
,
тогда
Пример.
Найти дифференциал функции
Решение. Находим производную
Пример.
Найти
дифференциал второго порядка функции
Решение.
;
;
Т.к. дифференциал функции мало отличается от ее приращения при
,
,
т.е.
откуда
получаем формулу для приближенного
вычисления значений функции при малом
приращении
.
(1)
Пример.
Найти приближенно
.
Решение.
Полагаем
,
тогда
,
,
по формуле (1) получаем
Найдем
точное значение
и найдем относительную погрешность
вычислений по формуле
где
-
приближенное число,
- точное значение
Пример.
Найти приближенно
Решение. Представим данную величину в виде
,
выделим функцию
,
где
;
,
,
,
,
по
формуле (1) получаем
Найдем
точное значение
Находим относительную погрешность
Задание 7.
1.Найти
дифференциал второго порядка
для заданной функции
2,3. Найти приближенное значение.
№ задания № вар. |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
