2. Применение производной
2.1. Приложение производной к задачам геометрии и механики
Если
кривая задана уравнением
,
то
,
где
-угол,
образованный с положительным направлением
оси
касательной к кривой в точке с абсциссой
:
Уравнение
касательной к кривой
в точке
имеет вид:
где
-есть
значение производной
при
Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания.
Уравнение
нормами имеет вид:
Угол
между двумя кривыми
и
в точке их пересечения
называется углом между касательными к
этим кривым в т.
Угол
находится по формуле
Если
при прямолинейном движении точки задан
закон движения
,
то скорость движения в момент времени
есть производная пути по времени
,
а ускорение, есть производная скорости
по времени, или производная второго
порядка пути по времени
или
Пример:
Какой угол образует с осью абсцисс
касательная к кривой
,
проведенная в точке с абсциссой
.
Решение. Найдем производную
при
,
получим
т.е.
,
а угол
Пример: Составить уравнение касательной и нормами к кривой
в
точке
Решение. Найдем производную из уравнения кривой
тогда
определим значение производной в точке , для этого поставим в найденную производную координаты точки , получим
Уравнение касательной будет:
или
Уравнение нормами
или
Пример:
Найти угол между параболами
;
Решение:
Найдем координаты точки
,
точки пересечения парабол, для этого
решаем уравнение:
;
;
;
;
Получилось
две точки, назовем их
и
Продифференцируем
уравнение парабол
;
Найдем
угловые коэффициенты касательных к
параболам в точке
,
т.е. значение производных при
;
Следовательно
также
определяем угол между кривыми в точке
;
Пример: Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана управлением
(
в
секундах;
в
метах) определить скорость движения и
ускорение в конце второй секунды
Решение: Скорость определим из условия
ускорения
Теперь
определим
и
в конце второй секунды, т.е. подставим,
в найденные уравнения
секунды
получим:
Задание 4.
Решить задачи, используя геометрический смысл производной.
1.
3аписать уравнение касательной к кривой
в
точке с абсциссой
.
2.
3аписать уравнение нормали к кривой
в точке с абсциссой
.
3.
3аписать уравнение касательной к линии
в точке с абсциссой
.
4.
3анисать уравнение нормали к линии
в точке с абсциссой
.
5.
3аписать уравнение касательной к кривой
в точке (2, 1).
6.
3аписать уравнение нормали к кривой
в точке (1, 1).
7.
Определить угловой коэффициент
касательной к кривой
в
точке (3, 2).
8.
В какой точке кривой
касательная
перпендикулярна к прямой
.
9.
3аписать уравнение касательной к кривой
в
точке с абсциссой
.
10.
Записать уравнение касательной к кривой
в точке с абсциссой
11.
Записать уравнение нормали к кривой
в точке с
абсциссой
.
12.
3аписать уравнение касательной к кривой
в точке с абсциссой
.
13.
3аписать уравнение нормали к кривой
в точке с абсциссой
.
14.
3аписать уравнение касательной к кривой
в
точке с абсциссой
15.
3аписать уравнение нормали к кривой
в точке с абсциссой
16.
3аписать уравнение касательной к кривой
в точке с абсциссой
17.
Выяснить, в каких точках кривой
касательная составляет с осью Ох
угол
18.
Выяснить, в какой точке кривой
касательная составляет с осью Ох
угол
.
19.
Выяснить, в какой точке кривой
касательная составляет
с
осью Ох
угол
.
20.
Выяснить, в каких точках кривой
касательная составляет с осью Ох
угол
.
21.
Найти точки на кривой
,
в которых касательные параллельны оси
Ох.
22.
Найти точку на кривой
,
касательная в которой параллельна
прямой
23.
Найти точку на кривой
,
касательная в которой перпендикулярна
к прямой
.
24.
Найти точку на кривой
,
касательная к которой параллельна
прямой
.
25.
Найти точку на кривой
,
касательная к которой перпендикулярна
к прямой
.
26.
Найти точку к кривой
,
касательная к которой параллельна
прямой
.
27.
Найти точку на кривой
касательная к которой параллельна
прямой
.
28.
Выяснить, в какой точке кривой
,
касательная параллельна прямой
.
29.
Выяснить, в какой точке кривой
касательная перпендикулярна к прямой
.
30.
Выяснить, в какой точке кривой
касательная перпендикулярна к прямой
.
Задание 5.
Решить задачи используя физический смысл производной.
1.
Траектория движения тела - кубическая
парабола,
.
В каких ее точках скорости возрастания
абсциссы и ординаты одинаковы? Ответ:
2.
3акон движения материальной точки
.
В какой момент времени скорость ее
движения будет равна 2м/сек (Ответ: 10/3
с).
3.
По оси Ох
движутся две материальные точки, законы
движения которых
и
.
С какой скоростью эти точки удаляются
друг от друга в момент встречи. (Ответ:
40 м/с; или 26м/с).
4.
Материальная точка движется по гиперболе
так, что ее абсцисса х
равномерно возрастает со скоростью 1
м/с. С какой скоростью изменяется ордината
точки, когда она проходит положение (6;
2). (Ответ: -1/3 м/с).
5.
В какой точке параболы
ордината возрастает вдвое быстрее, чем
абсцисса?
(Ответ: (1/4; 1)).
6.
Закон движения материальной точки
.
Найти скорость движения точки в момент
времени
.
(Ответ:22м/с).
7.
Закон движения материальной точки
.Найти
скорость ее
движения в момент времени . (Ответ: 100м/с).
8.
3акон движения материальной точки
.
Найти ее скорость в момент времени
-
(Ответ:-1м/с).
9.
3акон движения материальной точки
.
Найти ее скорость в момент времени
(Ответ:2/3 м/с).
10.
Закон движения материальной точки
.
Найти ее скорость
в момент времени
.(Ответ:3/8
м/с).
11.
Закон движения материальной точки
.В
какой момент времени ее скорость будет
равна 42 м/с. (Ответ:3с).
12.
3акон движения материальной точки
.
В какой момент времени ее скорость будет
равна 190 м/с. (Ответ:4с).
13.
Закон движения материальной точки
.
Найти скорость ее движения в момент
времени
.
(Ответ:78 м/с).
14.
3акон движения материальной точки
.
Найти скорость ее движения в момент
времени
.
(Ответ:88 м/с).
15.
По оси Ох
движутся две материальные точки, законы
движения которых
и
.
С какой скоростью удаляются эти точки
друг от друга в момент встречи? (Ответ:
42 м/с;33 м/с).
16.
По оси Ох
движутся две материальные точки, законы
движения которых
и
.
С какой скоростью удаляются эти точки
в момент встречи?
(Ответ:39 м/с; 32 м/с).
17.
По оси Ох
движутся две материальные точки, законы
движения которых
и
.
В какой момент времени их скорости
окажутся равными? (Ответ: 6с).
18.
Закон движения материальной точки
.
В какой момент времени скорость ее
движения будет равна 10 м/с? (Ответ:7с).
19.
Материальная точка движется по гиперболе
так, что ее абсцисса равномерно возрастает
со скоростью 1м/с; с какой скоростью
изменяется ее ордината, когда точка
проходит положение (4, 5)? (Ответ:-1,25 м/с).
20.
В какой точке параболы
ордината возрастает в двое быстрее, чем
абсцисса? (Ответ: (1/2; 2)).
21.
По оси Ох
движутся
две материальные точки, законы движения
которых
и
C
какой скоростью удаляются эти точки
друг от друга в момент встречи? (Ответ:
42 м/с или 35 м/с).
22.
В какой точке кривой
ордината возрастает в четыре раза
быстрее, чем абсцисса? (Ответ: (1/4; 2)).
23.
В какой точке параболы
абсцисса возрастает вдове быстрей, чем
ордината? (Ответ: (9/4; 9/16)).
24.
В какой точке параболы
абсцисса возрастает в пять раз быстрее,
чем ордината? (Ответ: (1;0,1)).
25.
По оси Ох
движутся две материальные точки, законы
движения которых
и
в
какой момент времени их скорости буду
равными? (Ответ: 4с).
26.
3акон движения материальной точки по
прямой задан формулой
.
В какой момент времени скорость точки
будет равна нулю? (Ответ: 6 с).
27.
Тело движется по прямой Ох
по закону
.
Определить скорость и ускорение движение
тела. В какие моменты времени оно меняет
направление движения? (Ответ:2с; 5с).
28.
Материальная точка движется прямолинейно
так, что
,
где V-скорость;
х
-пройденный путь. Определить ускорение
движения точки в момент, когда скорость
равна 6м/с (Ответ: 1/2 м/с2).
29.
3акон движения материальной точки
.
Найти скорость ее движения в момент
времени t=2c.
(Ответ: 15м/с).
30.
Дано уравнение движения точки по оси
Ox:
(x
измеряемая в метрах, t
- в секундах). Найти скорость и ускорение
этой точки в момент времени t=10
с. (Ответ
V=4,7
м/c; W=a=-0,06
м/с2).
Задание 6.
1.
Под каким углом синусоида
,
пересекает прямую у=1/2.
2.
Показать, что гиперболы
и
пересекаются под прямым углом.
3.
Определить угол, под которым пересекаются
кривые
и
4.
Под каким углом пересекаются гипербола
и
парабола
.
5.
На параболе
взяты две точки с абсциссами
и
.
Через эти точки проведена секущей. В
какой точке параболы касательная к ней
параллельна секущей?
6. Канат висячего моста имеет форму параболы и прикреплен к вертикальным опорам, отстоящим одна от другой на расстоянии 200 м. Самая нижняя точка каната находится на 40 м ниже точки подвеса. Найти угол между канатом и опорами.
7.
При каком значение а,
кривая
пересекает ось Ох
под углом 45°.
8.
Найти угол пересечения кривой
и
прямой
.
9.
Найти угол пересечения линий
и
.
10.
Найти угол пересечения линий
и
11.
Найти угол пересечения кривых
и
.
12.
Составить уравнения касательной и
нормали к полукубической параболе:
,
,
проведены в точке t=2.
13.
Найти угол пересечения кривых
и
.
14.
Определить, под каким угол кривая
пересекает ось абсцисс.
15.
Найти точки, в которых касательные к
графикам функции
и
параллельны.
16.
3анисать уравнения касательных и нормалей
к кривой
.
В точках пересечения ее с осью Оу.
17.
Записать уравнение касательных и
нормалей к кривой
в точках пересечения ее с осью Ох.
18.
3аписать уравнение касательных к
гиперболе
в точках с абсциссами
,
и найти угол между касательными.
19.
На параболе
взяты две точки с абсциссой
,
.
В какой точке параболы касательная к
ней будет параллельна секущей, проведенной
через эти
точки.
20.
Найти уравнение касательной и нормали
к кривой
в точке (-2; 3).
21.
Записать уравнение нормали к астроиде
и
в точке, для которой
.
22.
Составить уравнение той нормали к кривой
,
которая перпендикулярна к биссектрисе
первого и третьего координатных углов.
23.
Найти расстояние от вершины параболы
до касательной к ней в точке пересечения
параболы с осью Оу.
24.
В уравнении параболы
.
Определить b
и с,
если известно, что парабола касается
прямой
в точке
.
25.
Провести касательную к кривой
так, чтобы
она прошла через начало координат.
Написать уравнение этой касательной.
26.
Найти угол, под которым пересекаются
параболы
и
.
27.
Найти углы, под которым пересекаются
эллипс
и парабола
.
28.
Составить уравнение касательной к линии
в
точке ее пересечения с прямой
29.
Найти касательную к кривой
,
параллельную прямой
.
30.
При каком значении параметра а
парабола
касается кривой
?